Номер 38, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 38, страница 106.

Условие.

10.38. Длина каждого ребра тетраэдра $DABC$ равна 1 см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $DABC$ — заданный тетраэдр. По условию, это правильный тетраэдр, так как все его ребра равны 1 см. Обозначим длину ребра $a = 1$ см. Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$, которые являются противоположными ребрами тетраэдра.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Построим этот перпендикуляр.

1. Пусть точка $M$ — середина ребра $AB$, а точка $N$ — середина ребра $CD$. Соединим точки $M$ и $N$ отрезком. Докажем, что $MN$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$.

2. Рассмотрим грань $ADC$. Так как тетраэдр правильный, треугольник $ADC$ является равносторонним со стороной $a$. Отрезок $AN$ соединяет вершину $A$ с серединой противоположной стороны $CD$, следовательно, $AN$ — медиана $\triangle ADC$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой, поэтому $AN \perp CD$. Длину $AN$ можно найти по теореме Пифагора из $\triangle AND$: $AN = \sqrt{AD^2 - DN^2} = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Аналогично, рассмотрим грань $BDC$. Треугольник $BDC$ также является равносторонним, а $BN$ — его медиана и высота. Следовательно, $BN \perp CD$ и $BN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

4. Так как прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AN$ и $BN$, лежащим в плоскости $ANB$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ANB$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости $ANB$, а значит, $MN \perp CD$.

5. Теперь докажем, что $MN \perp AB$. Рассмотрим треугольник $ANB$. Его стороны $AN$ и $BN$ равны, так как $AN = BN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\triangle ANB$ — равнобедренный с основанием $AB$. Точка $M$ — середина основания $AB$, поэтому отрезок $MN$ является медианой этого треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $MN \perp AB$.

Мы доказали, что отрезок $MN$ перпендикулярен обеим прямым $AB$ и $CD$. Значит, длина $MN$ и есть искомое расстояние.

6. Для нахождения длины $MN$ рассмотрим прямоугольный треугольник $AMN$ (угол $AMN$ — прямой, так как $MN \perp AB$). По теореме Пифагора:$AN^2 = AM^2 + MN^2$Отсюда $MN^2 = AN^2 - AM^2$.

Длина катета $AM$ равна половине длины ребра $AB$: $AM = \frac{a}{2}$.Длину гипотенузы $AN$ мы уже нашли: $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения в формулу:$MN^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Извлекаем квадратный корень:$MN = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значение длины ребра $a = 1$ см:$MN = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.