Номер 37, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 37, страница 106.

Условие.

10.37. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 1 см. Найдите расстояние между прямыми $B_1D$ и $AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a=1$ см. Необходимо найти расстояние между скрещивающимися прямыми $B_1D$ и $AC$.

Рассмотрим прямую $AC$ – диагональ основания $ABCD$. В основании лежит квадрат, поэтому его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $BB_1 \perp AC$.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $BB_1$) в плоскости $(BDD_1B_1)$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей этой плоскости. Прямая $B_1D$ лежит в плоскости $(BDD_1B_1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна плоскости, содержащей другую, равно расстоянию от точки их пересечения до второй прямой. Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $O$ – это точка пересечения прямой $AC$ с плоскостью $(BDD_1B_1)$. Следовательно, искомое расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $B_1D$.

Задача сводится к нахождению высоты $OH$ в треугольнике $\triangle OB_1D$, проведенной из вершины $O$ к стороне $B_1D$. Все эти элементы лежат в плоскости прямоугольника $BDD_1B_1$.

Найдем размеры этого прямоугольника:
Сторона $BB_1 = a = 1$ см.
Сторона $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$ см, поэтому ее длина $BD = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ см.

Точка $O$ – середина $BD$, значит $OD = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Найдем искомое расстояние, вычислив площадь треугольника $\triangle OB_1D$ двумя способами.
1. Используя основание $OD$ и высоту к нему. Высотой, опущенной из вершины $B_1$ на прямую $BD$, является ребро $BB_1 = 1$ см.
$S_{\triangle OB_1D} = \frac{1}{2} \cdot OD \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{4}$ см$^2$.

2. Используя основание $B_1D$ и высоту $OH$. Длина $B_1D$ – это пространственная диагональ куба.
$B_1D = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ см.
$S_{\triangle OB_1D} = \frac{1}{2} \cdot B_1D \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot OH$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot OH = \frac{\sqrt{2}}{4}$
$\sqrt{3} \cdot OH = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$OH = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $B_1D$ и $AC$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$ см.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{6}$ см.