Номер 30, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 30, страница 106.

Условие.

10.30. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите расстояние между прямыми $B_1D_1$ и $AA_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Прямые $B_1D_1$ и $AA_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Построим общий перпендикуляр к этим прямым. Ребро куба $AA_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб. Прямая $B_1D_1$ (диагональ верхнего основания) лежит в этой плоскости.

Проведём в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ перпендикуляр $A_1H$ из точки $A_1$ к прямой $B_1D_1$. Рассмотрим отрезок $A_1H$.

Докажем, что $A_1H$ является общим перпендикуляром к прямым $AA_1$ и $B_1D_1$:

1. Отрезок $A_1H$ соединяет прямые $AA_1$ и $B_1D_1$, так как точка $A_1$ принадлежит прямой $AA_1$, а точка $H$ принадлежит прямой $B_1D_1$.
2. По построению, отрезок $A_1H$ перпендикулярен прямой $B_1D_1$ ($A_1H \perp B_1D_1$).
3. Так как прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $A_1H$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, следовательно, $AA_1 \perp A_1H$.

Таким образом, отрезок $A_1H$ является общим перпендикуляром, и его длина равна искомому расстоянию между прямыми $AA_1$ и $B_1D_1$.

Теперь найдем длину $A_1H$. Рассмотрим верхнюю грань куба — квадрат $A_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$. Диагональ $B_1D_1$ делит его на два равных прямоугольных треугольника. Треугольник $\triangle A_1B_1D_1$ — прямоугольный ($\angle B_1A_1D_1 = 90^\circ$) и равнобедренный ($A_1B_1 = A_1D_1 = a$).

Длину гипотенузы $B_1D_1$ найдем по теореме Пифагора:
$B_1D_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$A_1H$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе в треугольнике $\triangle A_1B_1D_1$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot B_1D_1 \cdot A_1H = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot A_1H$.

Приравняв оба выражения для площади, получим:
$\frac{a^2}{2} = \frac{a\sqrt{2} \cdot A_1H}{2}$
$a^2 = a\sqrt{2} \cdot A_1H$
$A_1H = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, искомое расстояние равно $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.