Номер 25, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 25, страница 105.

Условие.

10.25. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 4\sqrt{5}$ см, $AC = 8$ см.

Точка $D$ расположена на расстоянии $5\sqrt{5}$ см от каждой вершины треугольника $ABC$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть O — проекция точки D на плоскость треугольника ABC. Тогда отрезок DO является перпендикуляром к плоскости ABC, и его длина — искомое расстояние.

По условию, точка D равноудалена от всех вершин треугольника ABC: $DA = DB = DC = 5\sqrt{5}$ см. Это означает, что наклонные DA, DB, DC, проведенные из точки D к плоскости ABC, равны. Равные наклонные имеют равные проекции. Проекциями этих наклонных являются отрезки OA, OB, OC. Следовательно, $OA = OB = OC$.

Точка O в плоскости треугольника ABC равноудалена от его вершин, а значит, O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Расстояние от O до любой вершины — это радиус описанной окружности R, то есть $OA = R$.

Для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника ABC воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.

Сначала найдем площадь треугольника ABC. Так как $AB = BC = 4\sqrt{5}$ см, треугольник является равнобедренным. Проведем высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту BH:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (4\sqrt{5})^2 - 4^2 = 16 \cdot 5 - 16 = 80 - 16 = 64$ см$^2$.
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника ABC:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ см$^2$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 8}{4 \cdot 32} = \frac{16 \cdot 5 \cdot 8}{128} = \frac{640}{128} = 5$ см.
Таким образом, $OA = R = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DOA (так как $DO \perp OA$). В нем:
- $DA = 5\sqrt{5}$ см — гипотенуза (расстояние от D до вершины A).
- $OA = 5$ см — катет (радиус описанной окружности).
- $DO$ — искомый катет (расстояние от точки D до плоскости ABC).

По теореме Пифагора:
$DO^2 = DA^2 - OA^2 = (5\sqrt{5})^2 - 5^2 = 25 \cdot 5 - 25 = 125 - 25 = 100$ см$^2$.
$DO = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.