Номер 26, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 26, страница 105.

Условие.

10.26. Вершина $A$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а сторона $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Из точек $B$ и $C$ опущены на плоскость $\alpha$ перпендикуляры $BB_1$ и $CC_1$. Проекция отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $\sqrt{14}$ см, а проекция отрезка $AC - 3\sqrt{5}$ см. Найдите сторону $BC$, если $BB_1 = 2$ см, $\angle BAC = 45^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку вершина $A$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а $BB_1$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на эту плоскость, то отрезок $AB_1$ является проекцией стороны $AB$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AB_1B$.

Используя теорему Пифагора, найдем длину стороны $AB$:

$AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2$

$AB^2 = (\sqrt{14})^2 + 2^2 = 14 + 4 = 18$

$AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Согласно условию, сторона $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что все точки прямой $BC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Следовательно, длина перпендикуляра $CC_1$ равна длине перпендикуляра $BB_1$:

$CC_1 = BB_1 = 2$ см.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (с прямым углом $\angle AC_1C$), где $AC_1$ — проекция стороны $AC$. По теореме Пифагора найдем длину стороны $AC$:

$AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$

$AC^2 = (3\sqrt{5})^2 + 2^2 = 9 \cdot 5 + 4 = 45 + 4 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь в треугольнике $ABC$ известны две стороны ($AB = 3\sqrt{2}$ см и $AC = 7$ см) и угол между ними ($\angle BAC = 45^\circ$). Для нахождения длины третьей стороны $BC$ применим теорему косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения в формулу:

$BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$

$BC^2 = 18 + 49 - 42\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 67 - \frac{42 \cdot 2}{2}$

$BC^2 = 67 - 42 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.