Номер 23, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 23, страница 105.

Условие.

10.23. Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) равны 6 см и 8 см. Точка $D$ удалена от каждой вершины данного треугольника на 13 см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DH$.

По условию, точка $D$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$, то есть $DA = DB = DC = 13$ см. Отрезки $DA$, $DB$, $DC$ являются наклонными к плоскости $ABC$, проведенными из одной точки. Так как наклонные равны, то равны и их проекции на эту плоскость: $HA = HB = HC$. Следовательно, точка $H$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Так как треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle ACB = 90^\circ$), центр описанной около него окружности находится на середине его гипотенузы $AB$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора, используя длины катетов $AC=6$ см и $BC=8$ см:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы. Этот радиус и есть расстояние от центра $H$ до вершин треугольника:

$R = HA = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DHA$ (угол $\angle DHA = 90^\circ$, так как $DH$ перпендикулярен плоскости $ABC$). В этом треугольнике:

• гипотенуза $DA = 13$ см (по условию);
• катет $HA = 5$ см (как радиус описанной окружности).

Найдем второй катет $DH$ по теореме Пифагора:

$DH^2 = DA^2 - HA^2$

$DH = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.