Номер 17, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 17, страница 105.

Условие.

10.17. Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть из точки $A$, не принадлежащей плоскости $\alpha$, проведены к этой плоскости перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Требуется доказать, что если проекция одной наклонной больше проекции другой, то и сама эта наклонная больше. Для определённости, пусть проекция $HB$ больше проекции $HC$, то есть $HB > HC$. Докажем, что в этом случае наклонная $AB$ больше наклонной $AC$, то есть $AB > AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку отрезок $AH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$.

Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с общим катетом $AH$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle AHB$ квадрат гипотенузы $AB$ равен сумме квадратов катетов $AH$ и $HB$:

$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle AHC$:

$AC^2 = AH^2 + HC^2$

По нашему предположению, $HB > HC$. Так как длины отрезков — величины положительные, то и квадраты их длин будут находиться в том же соотношении:

$HB^2 > HC^2$

Прибавим к обеим частям этого неравенства одну и ту же положительную величину $AH^2$:

$AH^2 + HB^2 > AH^2 + HC^2$

Заменим суммы квадратов катетов в левой и правой частях неравенства на квадраты соответствующих гипотенуз:

$AB^2 > AC^2$

Поскольку длины наклонных $AB$ и $AC$ являются положительными числами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:

$AB > AC$

Таким образом, мы доказали, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.