Номер 14, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14, страница 104.

Условие.

10.14. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC $(\angle ACB = 90^\circ)$ проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости ABC (рис. 10.14). Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если $AB = 10$ см, $\angle BAC = 45^\circ$.

Рис. 10.13

Рис. 10.14

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AD$ и $BC$ равно длине их общего перпендикуляра.

По условию, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Так как прямая $AC$ лежит в этой плоскости, то $AD \perp AC$.

Также по условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что $AC \perp BC$.

Поскольку отрезок $AC$ перпендикулярен обеим прямым ($AD$ и $BC$) и соединяет их (точка $A$ лежит на прямой $AD$, а точка $C$ — на прямой $BC$), то $AC$ является их общим перпендикуляром. Следовательно, искомое расстояние равно длине катета $AC$.

Найдем длину $AC$ из прямоугольного треугольника $ABC$. Нам известна гипотенуза $AB = 10$ см и прилежащий к катету $AC$ угол $\angle BAC = 45^\circ$.
Используем определение косинуса:
$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB}$
Отсюда:
$AC = AB \cdot \cos(\angle BAC) = 10 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.