Номер 8, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 8, страница 104.

Условие.

10.8. Докажите, что если проекции двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, равны, то равны и наклонные.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть из точки $A$, не принадлежащей плоскости $\alpha$, проведены две наклонные $AB$ и $AC$ к этой плоскости (точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$). Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$ (точка $H$ лежит в плоскости $\alpha$).

По определению, отрезок $HB$ является ортогональной проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $HC$ — ортогональной проекцией наклонной $AC$ на ту же плоскость.

По условию задачи, проекции этих наклонных равны, то есть $HB = HC$. Нам необходимо доказать, что сами наклонные также равны: $AB = AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание, точку $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $H$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Катет $AH$ — общий для обоих треугольников.
2. Катет $HB$ равен катету $HC$ согласно условию задачи ($HB = HC$).

Поскольку два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны. Таким образом, $\triangle AHB \cong \triangle AHC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Гипотенузы $AB$ и $AC$ являются соответствующими сторонами в равных треугольниках $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Следовательно, $AB = AC$.

Таким образом, мы доказали, что если проекции двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, равны, то равны и сами наклонные.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство наклонных следует из равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), образованных каждой наклонной, её проекцией и перпендикуляром, опущенным из той же точки на плоскость.