Номер 3, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 103.

Условие.

10.3. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 12 см и наклонная длиной 13 см. Найдите проекцию этой наклонной на данную плоскость.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть из точки A к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. По условию, длина перпендикуляра $AH = 12$ см, а длина наклонной $AB = 13$ см.

Проекцией наклонной AB на плоскость $\alpha$ является отрезок HB, который соединяет основание перпендикуляра (точка H) и основание наклонной (точка B).

Отрезки AH, HB и AB образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, в котором $\angle AHB = 90^\circ$ (поскольку AH перпендикулярен плоскости $\alpha$ и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку H). В этом треугольнике:
– $AH$ — катет (длина перпендикуляра),
– $AB$ — гипотенуза (длина наклонной),
– $HB$ — второй катет (длина проекции).

Для нахождения длины катета HB воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Выразим из формулы квадрат длины проекции $HB^2$:
$HB^2 = AB^2 - AH^2$

Подставим известные значения и произведем вычисления:
$HB^2 = 13^2 - 12^2$
$HB^2 = 169 - 144$
$HB^2 = 25$

Теперь найдем длину проекции HB, извлекая квадратный корень:
$HB = \sqrt{25}$
$HB = 5$ см.

Ответ: 5 см.