Номер 4, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 10. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 102.

Условие.

4. Что называют расстоянием от точки до плоскости?

Решение 1.

Решение 3.

Расстоянием от точки до плоскости, если точка не лежит в этой плоскости, называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Если точка лежит в плоскости, расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Рассмотрим этот процесс подробнее. Пусть есть точка $M$ и плоскость $\alpha$.

1. Из точки $M$ на плоскость $\alpha$ опускается перпендикуляр — это отрезок $MH$, который соединяет точку $M$ с некоторой точкой $H$ на плоскости, причем прямая $MH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
2. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра или проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$.
3. Длина этого отрезка $MH$ и является искомым расстоянием.

Важным свойством перпендикуляра является то, что он короче любого другого отрезка (называемого наклонной), соединяющего точку $M$ с любой другой точкой $K$ на плоскости $\alpha$. В прямоугольном треугольнике $MHK$ (где $\angle H = 90^\circ$) отрезок $MH$ является катетом, а наклонная $MK$ — гипотенузой. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, $MH < MK$. Таким образом, расстояние от точки до плоскости — это кратчайшее из всех возможных расстояний от этой точки до точек, лежащих в плоскости.

В координатном пространстве, если точка имеет координаты $M(x_0, y_0, z_0)$, а плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то расстояние $d$ можно найти по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.