Номер 41, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 41, страница 98.

Условие.

9.41. Биссектриса тупого угла $ABC$ равнобокой трапеции $ABCD$ ($AB = CD$) пересекает основание $AD$ в точке $E$. Известно, что $BE \perp AC$, а четырёхугольник $BCDE$ — параллелограмм. Найдите:

1) основание $BC$ трапеции, если её периметр равен $40$ см;

2) углы трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Сначала найдем углы трапеции, так как для этого не требуется знание ее периметра, а затем, используя найденные углы и данные о периметре, найдем основание $BC$.

2) углы трапеции

1. По условию, четырехугольник $BCDE$ — параллелограмм. Из этого следует, что его противолежащие стороны параллельны, в частности $BE || CD$.

2. Трапеция $ABCD$ является равнобокой, поэтому ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

3. Из двух предыдущих пунктов получаем, что $AB = BE$. Это означает, что треугольник $ABE$ — равнобедренный.

4. В равнобедренном треугольнике $ABE$ углы при основании $AE$ равны: $∠BAE = ∠BEA$.

5. Основания трапеции параллельны ($BC || AD$), поэтому накрест лежащие углы при секущей $BE$ равны: $∠CBE = ∠BEA$.

6. $BE$ — биссектриса угла $ABC$, что по определению означает $∠ABE = ∠CBE$.

7. Объединяя равенства из пунктов 4, 5 и 6, мы видим, что все четыре угла равны между собой: $∠BAE = ∠BEA = ∠CBE = ∠ABE$.

8. Обозначим угол при основании трапеции $∠A$ (он же $∠BAE$) как $\alpha$. Тогда $∠A = \alpha$. Из равенства углов следует, что $∠ABE$ также равен $\alpha$.

9. Весь тупой угол $B$ трапеции $∠ABC$ равен сумме его частей: $∠ABC = ∠ABE + ∠CBE = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

10. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, составляет $180°$. Таким образом, $∠A + ∠ABC = 180°$.

11. Подставляем выражения углов через $\alpha$: $\alpha + 2\alpha = 180°$.

12. Решаем уравнение: $3\alpha = 180°$, откуда $\alpha = 60°$.

13. Находим углы трапеции:

• $∠A = \alpha = 60°$.
• Так как трапеция равнобокая, $∠D = ∠A = 60°$.
• $∠ABC = 2\alpha = 2 \cdot 60° = 120°$.
• Соответственно, $∠BCD = ∠ABC = 120°$.

Ответ: углы трапеции равны $60°, 120°, 120°, 60°$.

1) основание BC трапеции, если её периметр равен 40 см

1. Теперь используем второе условие: $BE \perp AC$. Пусть $O$ — точка пересечения $BE$ и $AC$. Тогда $∠AOB = 90°$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$. Мы знаем, что $∠AOB = 90°$. Из предыдущего пункта нам известно, что $∠ABO = ∠ABE = \alpha = 60°$.

3. Сумма углов треугольника равна $180°$, поэтому $∠BAO = 180° - 90° - 60° = 30°$.

4. Угол $∠BAO$ является частью угла $A$ трапеции и углом в треугольнике $ABC$. То есть, $∠BAC = 30°$.

5. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $∠ABC = 120°$ и $∠BAC = 30°$. Найдем третий угол: $∠BCA = 180° - (120° + 30°) = 180° - 150° = 30°$.

6. Поскольку в треугольнике $ABC$ два угла равны ($∠BAC = ∠BCA = 30°$), он является равнобедренным с основанием $AC$. Отсюда следует, что боковые стороны этого треугольника равны: $AB = BC$.

7. Обозначим длину стороны $BC$ как $x$. Тогда $BC = x$. Следовательно, $AB = x$.

8. Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, то $CD = AB = x$.

9. В пункте 2 мы нашли, что все углы треугольника $ABE$ равны $60°$, значит, он равносторонний. Таким образом, $AE = AB = BE = x$.

10. Так как $BCDE$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $ED = BC = x$.

11. Теперь можно выразить длину большего основания $AD$ через $x$: $AD = AE + ED = x + x = 2x$.

12. Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

13. Подставим известные значения в формулу периметра:

$x + x + x + 2x = 40$

$5x = 40$

$x = 8$ см.

14. Искомая длина основания $BC$ равна $x$.

Ответ: $BC = 8$ см.