Номер 34, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 34, страница 97.

Условие.

9.34. Каждое ребро тетраэдра $DABC$ равно $a$. На ребре $AD$ отмечена точка $M$, такая, что $AM : MD = 3 : 1$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной ребру $AD$, и найдите площадь этого сечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, $DABC$ — правильный тетраэдр, все рёбра которого равны $a$. Точка $M$ лежит на ребре $AD$, причём $AM : MD = 3:1$. Отсюда следует, что $AD = AM + MD = a$, $AM = \frac{3}{4}a$ и $MD = \frac{1}{4}a$.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна ребру $AD$.

Построение сечения

Чтобы построить сечение, найдём точки пересечения плоскости $\alpha$ с рёбрами тетраэдра.

1. Плоскость $\alpha$ по определению пересекает ребро $AD$ в точке $M$.

2. Рассмотрим грань $ABD$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $ABD$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна $AD$. Пусть эта линия пересекает ребро $DB$ в точке $P$. В треугольнике $ABD$ проведём прямую через $M$ перпендикулярно $AD$ до пересечения с $DB$ в точке $P$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle MDP$.

Поскольку тетраэдр правильный, все его грани — равносторонние треугольники, поэтому все плоские углы при вершинах равны $60^\circ$. В частности, $\angle ADB = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MDP$ ($\angle DMP = 90^\circ$): $DP = \frac{MD}{\cos(\angle MDP)} = \frac{MD}{\cos(60^\circ)} = \frac{a/4}{1/2} = \frac{a}{2}$.

Так как длина ребра $DB$ равна $a$, то точка $P$ является серединой ребра $DB$.

3. Аналогично рассмотрим грань $ACD$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $ACD$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна $AD$. Пусть эта линия пересекает ребро $DC$ в точке $Q$. В треугольнике $ACD$ проведём прямую через $M$ перпендикулярно $AD$ до пересечения с $DC$ в точке $Q$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle MDQ$.

$\angle ADC = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle MDQ$ ($\angle DMQ = 90^\circ$): $DQ = \frac{MD}{\cos(\angle MDQ)} = \frac{MD}{\cos(60^\circ)} = \frac{a/4}{1/2} = \frac{a}{2}$.

Так как длина ребра $DC$ равна $a$, то точка $Q$ является серединой ребра $DC$.

4. Плоскость $\alpha$ пересекает рёбра тетраэдра, выходящие из вершины $D$, в точках $M$, $P$, $Q$. Прямые $MP$ и $MQ$ лежат в плоскости $\alpha$. Прямая $PQ$ также лежит в плоскости $\alpha$. Отрезки $MP$, $MQ$ и $PQ$ являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями $ABD$, $ACD$ и $BCD$ соответственно.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MPQ$.

Ответ: Сечением является треугольник $MPQ$, где $P$ — середина ребра $DB$, а $Q$ — середина ребра $DC$.

Нахождение площади этого сечения

Для нахождения площади треугольника $MPQ$ найдём длины его сторон.

1. Из прямоугольного треугольника $\triangle MDP$ (рассмотренного при построении): $MP = MD \cdot \tan(\angle MDP) = MD \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

2. Из прямоугольного треугольника $\triangle MDQ$: $MQ = MD \cdot \tan(\angle MDQ) = MD \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

3. В треугольнике $DBC$ отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $DB$ и $DC$. Следовательно, $PQ$ является средней линией треугольника $DBC$. $PQ = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$.

4. Треугольник $MPQ$ является равнобедренным, так как $MP = MQ = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. Найдём его площадь. Проведём высоту $MK$ из вершины $M$ к основанию $PQ$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $K$ — середина $PQ$. $PK = \frac{1}{2} PQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$.

5. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $\triangle MKP$: $MK^2 = MP^2 - PK^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 - \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{3a^2}{16} - \frac{a^2}{16} = \frac{2a^2}{16} = \frac{a^2}{8}$. $MK = \sqrt{\frac{a^2}{8}} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$.

6. Площадь треугольника $MPQ$ равна: $S_{\triangle MPQ} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a^2\sqrt{2}}{16}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{16}$.