Номер 27, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 27, страница 97.

Условие.

9.27. Отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$. Через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите отрезок $AB$, если $AA_1 = 2$ см, $BB_1 = 12$ см, $AB_1 = 10$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку по условию прямые, проходящие через точки $A$ и $B$, перпендикулярны плоскости $\alpha$, то отрезки $AA_1$ и $BB_1$ также перпендикулярны этой плоскости. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой. Значит, $AA_1 || BB_1$.

Так как прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, все четыре точки $A$, $B$, $A_1$, $B_1$ лежат в одной плоскости. Образованная фигура $AA_1B_1B$ является трапецией с основаниями $AA_1$ и $BB_1$.

Поскольку $AA_1 \perp \alpha$, а отрезок $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, то $AA_1 \perp A_1B_1$. Следовательно, треугольник $\triangle AA_1B_1$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A_1$. По теореме Пифагора найдем квадрат длины катета $A_1B_1$, который является проекцией наклонной $AB_1$ на плоскость $\alpha$:

$A_1B_1^2 = AB_1^2 - AA_1^2$

$A_1B_1^2 = 10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96$

Отрезок $A_1B_1$ является также проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$.

Для нахождения длины отрезка $AB$ в трапеции $AA_1B_1B$ проведем из точки $A$ высоту $AC$ к основанию $BB_1$. Точка $C$ будет лежать на отрезке $BB_1$. В результате мы получим прямоугольный треугольник $\triangle ACB$, в котором $AB$ является гипотенузой.

Четырехугольник $AA_1B_1C$ является прямоугольником, поэтому его противоположные стороны равны:

$AC = A_1B_1$, следовательно $AC^2 = A_1B_1^2 = 96$.

$CB_1 = AA_1 = 2$ см.

Найдем длину второго катета $BC$ в треугольнике $\triangle ACB$:

$BC = BB_1 - CB_1 = 12 - 2 = 10$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ACB$ найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 96 + 10^2 = 96 + 100 = 196$

$AB = \sqrt{196} = 14$ см.

Ответ: 14 см.