Номер 30, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 30, страница 97.

Условие.

9.30. Параллелограмм $ABCD$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Через вершины $A, B, C$ и $D$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ соответственно. Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 11$ см, $BB_1 = 18$ см, $DD_1 = 16$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны между собой. Это означает, что точки $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$ образуют пространственную фигуру, у которой боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ параллельны.

Ключевым свойством параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. Тогда $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим трапецию $ACC_1A_1$ (так как $AA_1 \parallel CC_1$). Пусть $O_1$ — проекция точки $O$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $OO_1$ является средней линией для этой конфигурации (соединяет середину одной диагонали с ее проекцией). Длина этого отрезка равна полусумме длин оснований:

$OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Аналогично рассмотрим трапецию $BDD_1B_1$ (так как $BB_1 \parallel DD_1$). Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. Тогда для этой трапеции длина отрезка $OO_1$ равна:

$OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2}$

Поскольку обе формулы выражают длину одного и того же отрезка $OO_1$, мы можем их приравнять:

$\frac{AA_1 + CC_1}{2} = \frac{BB_1 + DD_1}{2}$

Умножив обе части на 2, получаем свойство: сумма расстояний от противоположных вершин параллелограмма до плоскости равна.

$AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1$

Теперь подставим известные значения в это равенство:

$11 + CC_1 = 18 + 16$

$11 + CC_1 = 34$

$CC_1 = 34 - 11$

$CC_1 = 23$ см

Ответ: 23 см.