Номер 26, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 26, страница 97.

Условие.

9.26. Отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$. Через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пересекающие её в точках $C$ и $D$ соответственно. Найдите отрезок $CD$, если $AC = 34$ см, $BD = 18$ см, $AB = 20$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, которые пересекают ее в точках C и D. Это означает, что отрезки AC и BD перпендикулярны плоскости α.

Из свойства перпендикулярных прямых к плоскости следует, что если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой. Таким образом, $AC \parallel BD$.

Рассмотрим четырехугольник ACDB. Точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, которая проходит через две параллельные прямые AC и BD. Так как $AC \parallel BD$, четырехугольник ACDB является трапецией с основаниями AC и BD.

Поскольку отрезки AC и BD перпендикулярны плоскости α, они перпендикулярны любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через их основания (точки C и D соответственно). В частности, $AC \perp CD$ и $BD \perp CD$. Это означает, что углы $\angle ACD$ и $\angle BDC$ — прямые. Следовательно, трапеция ACDB является прямоугольной, а отрезок CD — ее высотой.

Для нахождения длины высоты CD выполним дополнительное построение в плоскости трапеции. Проведем из точки B перпендикуляр BE к прямой AC. Так как $AC > BD$ (34 см > 18 см), точка E будет лежать на отрезке AC.

Получившийся четырехугольник EBDC является прямоугольником, так как все его углы прямые ($\angle C = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$, $\angle BEC = 90^\circ$). В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому:
$BE = CD$
$CE = BD = 18$ см.

Рассмотрим треугольник ABE. Он является прямоугольным, так как $BE \perp AC$ по построению ($\angle AEB = 90^\circ$). Найдем длину катета AE:
$AE = AC - CE = 34 \text{ см} - 18 \text{ см} = 16$ см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABE, где AB — гипотенуза, а AE и BE — катеты:
$AB^2 = AE^2 + BE^2$
Подставим известные значения:
$20^2 = 16^2 + BE^2$
$400 = 256 + BE^2$
$BE^2 = 400 - 256$
$BE^2 = 144$
$BE = \sqrt{144} = 12$ см.

Поскольку $BE = CD$, то длина искомого отрезка CD также равна 12 см.

Ответ: 12 см.