Номер 21, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 21, страница 96.

Условие.

9.21. В тетраэдре $DABC$ известно, что $AB = AC$, $\angle BAD = \angle CAD$. Докажите, что $AD \perp BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ΔDAB$ и $ΔDAC$. По условию задачи известно, что $AB = AC$ и $∠BAD = ∠CAD$. Сторона $AD$ является общей для этих двух треугольников. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ΔDAB$ равен треугольнику $ΔDAC$.

Из равенства треугольников $ΔDAB$ и $ΔDAC$ следует равенство их соответствующих сторон, в частности, $DB = DC$. Это означает, что треугольник $ΔDBC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Проведем медиану из вершины $A$ к стороне $BC$ в треугольнике $ΔABC$ и назовем точку пересечения $M$. Так как $ΔABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ (поскольку $AB=AC$), его медиана $AM$ является также и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$.

Так как $M$ является серединой $BC$, отрезок $DM$ в треугольнике $ΔDBC$ также является медианой. Поскольку мы доказали, что $ΔDBC$ — равнобедренный с основанием $BC$, его медиана $DM$ также является высотой. Следовательно, $DM \perp BC$.

Мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $DM$. Эти две прямые определяют плоскость $(ADM)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Значит, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADM)$.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ADM)$. Следовательно, $AD \perp BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.