Номер 28, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 28, страница 97.

Условие.

9.28. Через концы $A$ и $B$ и точку $C$ отрезка $AB$, не пересекающего пло-скость $\alpha$, проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$ и пере-секающие её в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отре-зок $CC_1$, если $AA_1 = 15$ см, $BB_1 = 25$ см, $AC : BC = 1 : 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, через точки $A$, $B$ и $C$ отрезка $AB$ проведены прямые, перпендикулярные плоскости $\alpha$. Прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой. Следовательно, прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$).

Так как точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, а прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны, то их концы $A_1$, $B_1$, $C_1$ также лежат на одной прямой в плоскости $\alpha$. Фигура, образованная точками $A$, $B$, $B_1$, $A_1$, является трапецией, где $AA_1$ и $BB_1$ — параллельные основания, а $AB$ и $A_1B_1$ — боковые стороны. Отрезок $CC_1$ параллелен основаниям этой трапеции и соединяет ее боковые стороны.

Для нахождения длины отрезка $CC_1$ используем метод подобия треугольников. Проведем в плоскости трапеции диагональ $AB_1$. Пусть она пересекает отрезок $CC_1$ в точке $K$.

Рассмотрим $\triangle ABB_1$. Так как $CK \parallel BB_1$ (поскольку $CC_1 \parallel BB_1$), то $\triangle ACK$ подобен $\triangle ABB_1$ по двум углам (угол при вершине $A$ — общий; $\angle ACK = \angle ABB_1$ как соответственные углы при параллельных прямых $CK$, $BB_1$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:$$ \frac{CK}{BB_1} = \frac{AC}{AB} $$По условию дано, что $AC : BC = 1 : 4$. Если принять длину $AC$ за $x$, то длина $BC$ будет $4x$, а вся длина отрезка $AB$ составит $AC + BC = x + 4x = 5x$.Следовательно, отношение $\frac{AC}{AB} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$.

Подставим известные значения в пропорцию, учитывая, что $BB_1 = 25$ см:$$ \frac{CK}{25} = \frac{1}{5} $$Отсюда находим длину отрезка $CK$:$$ CK = \frac{25 \cdot 1}{5} = 5 \text{ см} $$

Теперь рассмотрим $\triangle AA_1B_1$. Отрезок $C_1K$ в этом треугольнике параллелен основанию $AA_1$. Следовательно, $\triangle B_1C_1K$ подобен $\triangle B_1A_1A$. Из подобия следует:$$ \frac{C_1K}{AA_1} = \frac{B_1C_1}{B_1A_1} $$По теореме Фалеса, параллельные прямые $AA_1$, $CC_1$, $BB_1$ отсекают на боковых сторонах трапеции пропорциональные отрезки. Значит, $A_1C_1 : C_1B_1 = AC : BC = 1 : 4$.Если принять $A_1C_1 = y$, то $C_1B_1 = 4y$, а вся длина $B_1A_1 = A_1C_1 + C_1B_1 = y + 4y = 5y$.Таким образом, отношение $\frac{B_1C_1}{B_1A_1} = \frac{4y}{5y} = \frac{4}{5}$.

Подставим известные значения в пропорцию, учитывая, что $AA_1 = 15$ см:$$ \frac{C_1K}{15} = \frac{4}{5} $$Отсюда находим длину отрезка $C_1K$:$$ C_1K = \frac{15 \cdot 4}{5} = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см} $$

Полная длина отрезка $CC_1$ равна сумме длин его частей $CK$ и $C_1K$:$$ CC_1 = CK + C_1K = 5 \text{ см} + 12 \text{ см} = 17 \text{ см} $$

Ответ: 17 см.