Номер 25, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 25, страница 97.

Условие.

9.25. Данная точка, расположенная вне плоскости правильного треугольника, равноудалена от его вершин. Докажите, что прямая, проходящая через данную точку и центр данного треугольника, перпендикулярна плоскости треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан правильный треугольник $ABC$, лежащий в плоскости $\alpha$, и точка $P$, не принадлежащая этой плоскости ($P \notin \alpha$). Пусть $O$ — центр треугольника $ABC$. По условию задачи, точка $P$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $PA = PB = PC$.

Проведем из точки $P$ перпендикуляр $PH$ к плоскости $\alpha$, где $H$ — основание перпендикуляра. Отрезки $PA$, $PB$ и $PC$ являются наклонными к плоскости $\alpha$, а отрезки $HA$, $HB$ и $HC$ — их проекциями на эту плоскость.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle PHA$, $\triangle PHB$ и $\triangle PHC$ (они прямоугольные, так как $PH \perp \alpha$). По теореме Пифагора имеем:

$PA^2 = PH^2 + HA^2$

$PB^2 = PH^2 + HB^2$

$PC^2 = PH^2 + HC^2$

Так как по условию $PA = PB = PC$, то и их квадраты равны: $PA^2 = PB^2 = PC^2$. Следовательно, равны и правые части уравнений:

$PH^2 + HA^2 = PH^2 + HB^2 = PH^2 + HC^2$

Вычитая из всех частей этого равенства $PH^2$, получаем:

$HA^2 = HB^2 = HC^2$

Отсюда следует, что $HA = HB = HC$.

Это означает, что точка $H$ (проекция точки $P$ на плоскость $\alpha$) равноудалена от вершин треугольника $A$, $B$ и $C$. Точка в плоскости треугольника, равноудаленная от его вершин, является центром описанной около него окружности.

Для правильного треугольника центр описанной окружности совпадает с его центром. По условию, $O$ — центр треугольника $ABC$. Значит, точка $H$ совпадает с точкой $O$.

Поскольку $H$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на плоскость $\alpha$, и $H$ совпадает с $O$, то отрезок $PO$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $P$ и $O$, перпендикулярна плоскости треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.