Номер 22, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 22, страница 96.

Условие.

9.22. В тетраэдре $DABC$ известно, что $\angle ABD = \angle CBD$, $\angle ADB = \angle CDB$. Докажите, что $BD \perp AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. По условию задачи нам дано, что $\angle ABD = \angle CBD$ и $\angle ADB = \angle CDB$. Сторона $BD$ является общей для этих двух треугольников. Таким образом, по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников), мы можем заключить, что $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $AB = CB$ и $AD = CD$.

Равенство сторон $AB = CB$ означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Аналогично, из равенства сторон $AD = CD$ следует, что треугольник $\triangle ADC$ также является равнобедренным с основанием $AC$.

Проведем медиану $BM$ в треугольнике $\triangle ABC$ к основанию $AC$. Поскольку $\triangle ABC$ — равнобедренный, медиана $BM$ является также его высотой. Это означает, что $BM \perp AC$.

Проведем медиану $DM$ в треугольнике $\triangle ADC$ к основанию $AC$. Поскольку $\triangle ADC$ — равнобедренный, медиана $DM$ также является его высотой. Это означает, что $DM \perp AC$.

Мы получили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум прямым — $BM$ и $DM$. Эти две прямые пересекаются в точке $M$ и лежат в одной плоскости, проходящей через точки $B, D, M$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BDM)$.

Прямая $BD$ лежит в плоскости $(BDM)$. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp BD$, или, что то же самое, $BD \perp AC$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.