Номер 15, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 15, страница 96.

Условие.

9.15. Точка $K$ – середина ребра $DA$ тетраэдра $DABC$, все рёбра которого равны. Докажите, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BKC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, все рёбра тетраэдра $DABC$ равны. Такой тетраэдр является правильным, и все его грани представляют собой равные равносторонние треугольники.

Для доказательства того, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BKC$, необходимо, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, доказать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $BKC$. В качестве таких прямых рассмотрим $BK$ и $CK$.

1. Рассмотрим грань $DAB$. Так как все рёбра тетраэдра равны, треугольник $DAB$ является равносторонним. Точка $K$ по условию — середина ребра $DA$. Отрезок $BK$ соединяет вершину треугольника $B$ с серединой противоположной стороны $DA$, следовательно, $BK$ является медианой треугольника $DAB$. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой из сторон, является также и высотой. Таким образом, $BK$ — высота треугольника $DAB$, опущенная на сторону $DA$. Это означает, что $BK \perp DA$, или $AD \perp BK$.

2. Аналогично рассмотрим грань $DAC$. Треугольник $DAC$ также является равносторонним. Точка $K$ — середина ребра $DA$. Отрезок $CK$ является медианой треугольника $DAC$. Поскольку в равностороннем треугольнике медиана является и высотой, $CK$ — это высота, опущенная на сторону $DA$. Следовательно, $CK \perp DA$, или $AD \perp CK$.

Итак, мы установили, что прямая $AD$ перпендикулярна двум прямым — $BK$ и $CK$. Обе эти прямые лежат в плоскости $BKC$. Прямые $BK$ и $CK$ пересекаются в точке $K$, так как они имеют общую точку и не совпадают (поскольку точки $B$, $C$ и $D$ не лежат на одной прямой).

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BK$ и $CK$) в плоскости $BKC$, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна самой плоскости $BKC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.