Номер 11, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11, страница 95.

Условие.

9.11. Диагональ $B_1D$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 17 см, а диагональ $AB_1$ боковой грани $AA_1B_1B$ равна 15 см (рис. 9.21). Найдите ребро $AD$ параллелепипеда.

Рис. 9.21

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AD$ перпендикулярно грани $AA_1B_1B$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AB$ и $AA_1$, лежащим в этой грани.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $AA_1B_1B$. Диагональ $AB_1$ является прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно диагонали $AB_1$, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DAB_1$. Так как $AD \perp AB_1$, этот треугольник является прямоугольным, где $AD$ и $AB_1$ – катеты, а $B_1D$ – гипотенуза.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle DAB_1$: $B_1D^2 = AD^2 + AB_1^2$

Подставим известные значения из условия задачи: $B_1D = 17$ см и $AB_1 = 15$ см. $17^2 = AD^2 + 15^2$

Выразим $AD^2$: $AD^2 = 17^2 - 15^2$ $AD^2 = 289 - 225$ $AD^2 = 64$

Найдем длину ребра $AD$: $AD = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.