Номер 13, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13, страница 95.

Условие.

9.13. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена прямая AF, перпендикулярная плоскости ABC (рис. 9.23). Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости AFC.

Рис. 9.21

Рис. 9.22

Рис. 9.23

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства перпендикулярности прямой $BC$ плоскости $AFC$ воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. По условию, прямая $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $AF$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. Следовательно, $AF \perp BC$.

2. По условию, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Это означает, что прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ ($BC \perp AC$).

Таким образом, мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум прямым: $AF$ и $AC$. Обе эти прямые лежат в плоскости $AFC$ и пересекаются в точке $A$.

Исходя из признака перпендикулярности прямой и плоскости, можно заключить, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $AFC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.