Номер 7, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 7, страница 94.

Условие.

9.7. Три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$, но не перпендикулярна прямой $c$. Каково взаимное расположение прямых $a$ и $b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Дано:
1. Прямые $a, b, c$ лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha, b \subset \alpha, c \subset \alpha$).
2. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$ ($m \perp a$ и $m \perp b$).
3. Прямая $m$ не перпендикулярна прямой $c$ ($m \not\perp c$).

Решение:
Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Существует два возможных варианта их взаимного расположения: они либо пересекаются, либо параллельны.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $P$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

В нашем случае, по предположению, прямые $a$ и $b$ пересекаются и лежат в плоскости $\alpha$. Прямая $m$ перпендикулярна обеим этим прямым ($m \perp a$ и $m \perp b$). Следовательно, из нашего предположения вытекает, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($m \perp \alpha$).

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $c$ по условию лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Значит, должно выполняться условие $m \perp c$.

Однако это противоречит условию задачи, где указано, что прямая $m$ не перпендикулярна прямой $c$ ($m \not\perp c$).

Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, было неверным.

Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются, они могут быть только параллельными.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).