Номер 5, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 5, страница 94.

Условие.

Рис. 9.17

9.5. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 9.17). Укажите прямые, которые перпендикулярны плоскости грани: 1) $AA_1B_1B$; 2) $A_1B_1C_1D_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

9.4.

1) $AA_1$

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Прямая $AA_1$ является ребром куба. Рассмотрим грань $ABCD$. Так как все грани куба — квадраты, ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$ (из квадрата $ABB_1A_1$) и ребру $AD$ (из квадрата $ADD_1A_1$). Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $ABCD$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$.

Аналогично, прямая $AA_1$ перпендикулярна ребру $A_1B_1$ и ребру $A_1D_1$. Эти ребра пересекаются в точке $A_1$ и лежат в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) $AD$

Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Прямая $AD$ перпендикулярна ребру $AB$ (из квадрата $ABCD$) и ребру $AA_1$ (из квадрата $ADD_1A_1$). Прямые $AB$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$.

Грань $DCC_1D_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$. Так как прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна и параллельной ей плоскости $DCC_1D_1$.

Ответ: $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$.

9.5.

1) $AA_1B_1B$

Нужно найти прямые, перпендикулярные плоскости грани $AA_1B_1B$.

Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AA_1$ и $AB$ в этой плоскости. Следовательно, $AD \perp (AA_1B_1B)$.

Любая прямая, параллельная прямой $AD$, также будет перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. В кубе ребру $AD$ параллельны ребра $BC$, $A_1D_1$ и $B_1C_1$.

Ответ: $AD$, $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$.

2) $A_1B_1C_1D_1$

Нужно найти прямые, перпендикулярные плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$.

Прямая $AA_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_1B_1$ и $A_1D_1$ в этой плоскости. Следовательно, $AA_1 \perp (A_1B_1C_1D_1)$.

Любая прямая, параллельная прямой $AA_1$, также будет перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$. В кубе ребру $AA_1$ параллельны ребра $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.

Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.

9.6.

Предположим, что полный вопрос звучит так: «Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?»

Нет, это утверждение неверно.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости только в том случае, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Перпендикулярности к одной прямой недостаточно.

Приведем контрпример. Рассмотрим плоскость основания куба $(ABC)$ и диагональ боковой грани $A_1D$.

1. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$.

2. Прямая $A_1D$ перпендикулярна прямой $AB$. Это следует из того, что ребро $AB$ перпендикулярно всей плоскости грани $ADD_1A_1$ (так как $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$), а значит, $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $A_1D$.

3. Итак, мы имеем прямую $A_1D$, которая перпендикулярна прямой $AB$ из плоскости $(ABC)$. Однако прямая $A_1D$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Для этого она должна быть перпендикулярна еще одной прямой в этой плоскости, пересекающей $AB$, например, прямой $AD$.

4. Прямая $A_1D$ не перпендикулярна прямой $AD$, так как в прямоугольном треугольнике $A_1AD$ угол $\angle A_1DA = 45^\circ$, а не $90^\circ$.

Следовательно, перпендикулярность прямой к одной прямой в плоскости не гарантирует ее перпендикулярность ко всей плоскости.

Ответ: Нет, неверно.