Номер 4, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 94.

Условие.

Рис. 9.17

9.4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 9.17). Назовите грани куба, которым перпендикулярна прямая:

1) $AA_1$;

2) $AD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

9.4.

1) По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Прямая $AA_1$ перпендикулярна ребру $AB$ и ребру $AD$, так как грани куба ($AA_1B_1B$ и $AA_1D_1D$) являются квадратами. Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $ABCD$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$. Аналогично, прямая $AA_1$ перпендикулярна ребрам $A_1B_1$ и $A_1D_1$, которые пересекаются в точке $A_1$ и лежат в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) Прямая $AD$ перпендикулярна ребру $AB$ (так как грань $ABCD$ — квадрат) и ребру $AA_1$ (так как грань $AA_1D_1D$ — квадрат). Прямые $AB$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $AA_1B_1B$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. Также прямая $AD$ перпендикулярна ребру $DC$ (так как грань $ABCD$ — квадрат) и ребру $DD_1$ (так как грань $AA_1D_1D$ — квадрат, а $AD$ параллельна $A_1D_1$, которая перпендикулярна $DD_1$). Прямые $DC$ и $DD_1$ пересекаются в точке $D$ и лежат в плоскости грани $DCC_1D_1$. Поскольку $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости (или, точнее, прямым, им параллельным, проходящим через точку $D$), то прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $DCC_1D_1$.
Ответ: $AA_1B_1B$ и $DCC_1D_1$.

9.5.

1) Искомые прямые должны быть перпендикулярны двум пересекающимся прямым в плоскости $AA_1B_1B$, например, прямым $AB$ и $AA_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно $AB$ (стороны квадрата $ABCD$) и перпендикулярно $AA_1$ (стороны квадрата $AA_1D_1D$). Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. Прямые (ребра), параллельные $AD$, также перпендикулярны этой плоскости. Это ребра $BC$, $A_1D_1$ и $B_1C_1$.
Ответ: $AD$, $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$.

2) Искомые прямые должны быть перпендикулярны двум пересекающимся прямым в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, например, прямым $A_1B_1$ и $A_1D_1$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно $A_1B_1$ (стороны квадрата $AA_1B_1B$) и перпендикулярно $A_1D_1$ (стороны квадрата $AA_1D_1D$). Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Прямые (ребра), параллельные $AA_1$, также перпендикулярны этой плоскости. Это ребра $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.
Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.