Страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую прямую называют перпендикулярной плоскости?

1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Более строгое определение: прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку пересечения. Если прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, то её перпендикулярность плоскости (обозначается как $a \perp \alpha$) означает, что для любой прямой $b$, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $M$, выполняется условие $a \perp b$.

Для проверки перпендикулярности прямой и плоскости на практике используется признак перпендикулярности прямой и плоскости, который гласит:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Это означает, что для доказательства $a \perp \alpha$ достаточно найти в плоскости $\alpha$ две прямые $b$ и $c$, которые пересекаются, и показать, что прямая $a$ перпендикулярна каждой из них ($a \perp b$ и $a \perp c$).

Ответ: Прямую называют перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

...ую прямую называют перпендикулярной плоскости...

2. Какой отрезок называют перпендикулярным плоскости?

2. Какой отрезок называют перпендикулярным плоскости?

Отрезок называют перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, которая перпендикулярна этой плоскости, и один из его концов принадлежит этой плоскости.

Чтобы полностью понять это определение, рассмотрим его составляющие:

1. Перпендикулярность прямой и плоскости. По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ (записывается как $a \perp \alpha$). Это означает, что прямая $a$ будет перпендикулярна прямым $b$, $c$, $d$ и любой другой прямой, которая лежит в плоскости $\alpha$.

На практике, чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (это признак перпендикулярности прямой и плоскости).

2. Определение для отрезка. Теперь, используя понятие перпендикулярности прямой и плоскости, можно сформулировать точное определение для отрезка. Отрезок $AB$ называется перпендикулярным плоскости $\alpha$, если:

• Прямая, содержащая отрезок $AB$, перпендикулярна плоскости $\alpha$.
• Один из концов отрезка, например точка $B$, является точкой пересечения прямой $AB$ и плоскости $\alpha$ (то есть, точка $B$ лежит на плоскости $\alpha$).

Такой отрезок $AB$ также называют перпендикуляром, опущенным (или проведенным) из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Точка $B$ называется основанием перпендикуляра. Длина отрезка $AB$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Ответ: Отрезок называют перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости, и один из его концов принадлежит этой плоскости, а другой — нет.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости — это теорема, которая устанавливает достаточное условие для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости.

Формулировка теоремы:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости.

Это означает, что для проверки перпендикулярности прямой $a$ и плоскости $\alpha$ не нужно проверять перпендикулярность прямой $a$ ко всем прямым, лежащим в плоскости $\alpha$. Достаточно проверить это условие лишь для двух прямых, но они обязательно должны пересекаться.

Запишем это условие формально:

Пусть даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Если существуют две прямые $b$ и $c$ такие, что:

1. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

2. Прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

3. Прямые $b$ и $c$ пересекаются ($b \cap c = M$).

4. Прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$).

5. Прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$ ($a \perp c$).

То из этих условий следует, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Ответ: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

4. Сформулируйте теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.

Формулировка теоремы
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Развернутое доказательство

Дано:
Даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и плоскость $\alpha$.
Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Доказать:
Прямая $b$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($b \perp \alpha$).

Доказательство:
Для доказательства воспользуемся методом от противного.
Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$.
Предположим, что прямая $b$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$. В таком случае через точку $B$ можно провести другую прямую, назовем ее $b'$, которая будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Таким образом, по нашему предположению, $b' \perp \alpha$.
Рассмотрим прямые $a$ и $b'$. Обе они перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных одной плоскости, они параллельны друг другу. То есть, $a \parallel b'$.
Теперь мы имеем следующую ситуацию: через точку $B$ проходят две различные прямые, $b$ и $b'$, и обе они параллельны прямой $a$ (прямая $b$ параллельна $a$ по условию, а прямая $b'$ параллельна $a$ по нашему выводу).
Это утверждение противоречит аксиоме о параллельных прямых, которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следовательно, наше исходное предположение о том, что прямая $b$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, является ложным.
Это означает, что прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Теорема доказана.

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

5. Сформулируйте теоремы о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.

В стереометрии существует две важные взаимно обратные теоремы, связывающие параллельность прямых и их перпендикулярность к плоскости.

Теорема

Эта теорема описывает взаимное расположение двух прямых, которые перпендикулярны одной и той же плоскости.

Формулировка: Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

В математической записи это выглядит так:
Если даны плоскость $\alpha$ и прямые $a$ и $b$, причем $a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$, то из этого следует, что $a \parallel b$.

Ответ: Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Обратная теорема

Эта теорема является обратной к предыдущей и также описывает связь между параллельными прямыми и плоскостью.

Формулировка: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

В математической записи это выглядит так:
Если даны плоскость $\alpha$ и прямые $a$ и $b$, причем $a \parallel b$ и $a \perp \alpha$, то из этого следует, что $b \perp \alpha$.

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

6. Какие точки называют симметричными относительно плоскости?

Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно плоскости $\alpha$, если эта плоскость проходит через середину отрезка $AA_1$ и перпендикулярна этому отрезку.

Более подробно, для того чтобы точки были симметричны относительно плоскости, должны выполняться два условия:

1. Прямая, проходящая через точки $A$ и $A_1$, перпендикулярна плоскости симметрии $\alpha$. В виде формулы это записывается как $AA_1 \perp \alpha$.
2. Точка пересечения прямой $AA_1$ с плоскостью $\alpha$ (обозначим ее $M$) является серединой отрезка $AA_1$. Это означает, что расстояние от точки $A$ до плоскости равно расстоянию от точки $A_1$ до плоскости, то есть $AM = MA_1$. При этом точки $A$ и $A_1$ должны лежать по разные стороны от плоскости $\alpha$.

Таким образом, плоскость симметрии $\alpha$ является перпендикулярной биссекторной плоскостью для отрезка $AA_1$ (также ее называют медиатрисой отрезка в пространстве).

Следует также рассмотреть частный случай: если точка $A$ лежит в самой плоскости $\alpha$, то симметричной ей точкой относительно этой плоскости является сама точка $A$.

Ответ: Точки называют симметричными относительно плоскости, если эта плоскость перпендикулярна отрезку, соединяющему данные точки, и проходит через его середину.

7. Опишите преобразование фигуры, которое называют симметрией относительно плоскости.

Симметрией относительно плоскости (или зеркальной симметрией) называют такое преобразование пространства, при котором для заданной плоскости $\alpha$ (называемой плоскостью симметрии) каждая точка $M$ пространства отображается на симметричную ей точку $M'$.

Правила построения симметричной точки $M'$ для точки $M$ следующие:

1. Если точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, то ее симметричная точка $M'$ лежит на прямой, проходящей через $M$ и перпендикулярной плоскости $\alpha$. При этом точки $M$ и $M'$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$, но по разные стороны от нее. Это означает, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку $MM'$ и проходит через его середину.
2. Если точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, то она отображается сама в себя, то есть $M' = M$. Такие точки называются неподвижными точками преобразования.

Когда это преобразование применяется ко всем точкам фигуры $F$, в результате получается новая фигура $F'$, которая является зеркальным отражением исходной фигуры $F$ относительно плоскости $\alpha$.

Симметрия относительно плоскости является движением (изометрией), так как она сохраняет расстояния между точками. Следовательно, она сохраняет размеры и форму фигур, но изменяет их ориентацию в пространстве (например, левая перчатка при отражении превращается в правую).

Ответ: Симметрия относительно плоскости $\alpha$ — это преобразование пространства, при котором любая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что отрезок $MM'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$ и делится ею пополам. Точки, принадлежащие самой плоскости $\alpha$, остаются неподвижными.

8. Какую фигуру называют симметричной относительно плоскости?

Фигура называется симметричной относительно плоскости $\alpha$ (или обладающей зеркальной симметрией), если для каждой точки $M$, принадлежащей этой фигуре, точка $M'$, симметричная точке $M$ относительно плоскости $\alpha$, также принадлежит этой фигуре.

Сама плоскость $\alpha$ в этом случае называется плоскостью симметрии фигуры.

Две точки $M$ и $M'$ называются симметричными относительно плоскости $\alpha$, если эта плоскость проходит через середину отрезка $MM'$ и перпендикулярна ему. Если точка принадлежит самой плоскости симметрии, она считается симметричной самой себе.

Проще говоря, плоскость симметрии делит фигуру на две части, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Если бы плоскость была зеркалом, то одна половина фигуры была бы отражением другой.

Примеры фигур, обладающих плоскостью симметрии:

• Шар: любая плоскость, проходящая через его центр, является плоскостью симметрии.
• Куб: имеет 9 плоскостей симметрии (три проходят через середины параллельных ребер, а шесть — через диагонали противоположных граней).
• Прямой круговой цилиндр: любая плоскость, проходящая через его ось, а также плоскость, перпендикулярная оси и проходящая через середину высоты.
• Сфера: любая плоскость, проходящая через её центр.

Ответ: Фигуру называют симметричной относительно плоскости, если для каждой точки этой фигуры точка, симметричная ей относительно данной плоскости, также принадлежит этой фигуре.

9.1. Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Существуют ли в плоскости $\alpha$ прямые, не перпендикулярные прямой $a$?

Для ответа на этот вопрос обратимся к определению перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

В условии задачи сказано, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это означает, что по определению прямая $a$ образует прямой угол ($90^\circ$) с абсолютно любой прямой, которая находится в плоскости $\alpha$.

Таким образом, если мы возьмем любую прямую $b$, принадлежащую плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), то для нее будет выполняться условие перпендикулярности $a \perp b$.

Следовательно, в плоскости $\alpha$ не может быть ни одной прямой, которая не была бы перпендикулярна прямой $a$.

Ответ: нет, таких прямых не существует.

9.2. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$ плоскости $\alpha$. Следует ли из этого, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$?

Нет, из этого не следует, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В условии задачи сказано, что прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$, которые принадлежат плоскости $\alpha$. Однако не уточнено взаимное расположение прямых $a$ и $b$. Они могут быть как пересекающимися, так и параллельными.

1. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $m$ действительно будет перпендикулярна плоскости $\alpha$.
2. Если прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то утверждение не всегда верно. Можно привести контрпример: пусть плоскость $\alpha$ — это пол. На полу нарисованы две параллельные прямые $a$ и $b$. Прямая $m$ также лежит на полу и перпендикулярна прямым $a$ и $b$. В этом случае условие ($m \perp a$ и $m \perp b$) выполняется, но прямая $m$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, так как она сама лежит в этой плоскости.

Поскольку существует случай, когда условие выполняется, а вывод — нет (случай с параллельными прямыми), то сделать однозначный вывод о перпендикулярности прямой $m$ и плоскости $\alpha$ нельзя.

Ответ: Нет, не следует. Для того чтобы прямая $m$ была перпендикулярна плоскости $\alpha$, необходимо, чтобы прямые $a$ и $b$ были не только перпендикулярны прямой $m$ и лежали в плоскости $\alpha$, но и пересекались между собой. Условие задачи не гарантирует, что прямые $a$ и $b$ пересекаются (они могут быть параллельны).

9.3. Верно ли утверждение, что если прямая не перпендикулярна плоскости, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости?

Нет, данное утверждение неверно.

Прямая, которая не перпендикулярна плоскости, может быть перпендикулярна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Это можно доказать с помощью теоремы о трёх перпендикулярах или показать на конкретном примере.

1. Доказательство от противного с использованием определения.

Определение: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Утверждение в задаче: "Если прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости".

Рассмотрим обратное утверждение (контрапозицию): "Если прямая $a$ перпендикулярна хотя бы одной прямой $b$ в плоскости $\alpha$, то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$". Это утверждение очевидно ложно, так как для перпендикулярности прямой и плоскости требуется, чтобы прямая была перпендикулярна как минимум двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Следовательно, исходное утверждение также является ложным.

2. Доказательство с помощью теоремы о трёх перпендикулярах.

Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ и не перпендикулярна ей (такая прямая называется наклонной). Пусть $a'$ — ортогональная проекция прямой $a$ на плоскость $\alpha$. Так как $a$ не перпендикулярна $\alpha$, её проекция $a'$ является прямой, а не точкой. В плоскости $\alpha$ мы всегда можем построить прямую $b$, перпендикулярную прямой $a'$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если прямая ($b$), лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной ($a'$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($a$).

Таким образом, для любой наклонной $a$ к плоскости $\alpha$ существует прямая $b$ в этой плоскости, для которой выполняется условие $a \perp b$. Это прямо опровергает исходное утверждение.

3. Пример.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

• В качестве плоскости $\alpha$ возьмём плоскость нижнего основания $(ABC)$.
• В качестве прямой $a$ возьмём диагональ боковой грани $A_1B$.

Прямая $A_1B$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$, так как она не перпендикулярна, например, прямой $AB$ (угол $\angle A_1BA = 45^\circ$).

Теперь рассмотрим прямую $BC$, которая лежит в плоскости $(ABC)$.

Ребро $BC$ перпендикулярно грани $(ABB_1A_1)$, так как $BC \perp AB$ (как стороны квадрата) и $BC \perp BB_1$ (так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию).

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ABB_1A_1)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $A_1B$ как раз лежит в плоскости $(ABB_1A_1)$. Следовательно, $BC \perp A_1B$.

Мы нашли прямую ($BC$), лежащую в плоскости ($(ABC)$), которая перпендикулярна прямой ($A_1B$), при том что прямая $A_1B$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

Рис. 9.17

9.4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 9.17). Назовите грани куба, которым перпендикулярна прямая:

1) $AA_1$;

2) $AD$.

9.4.

1) По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Прямая $AA_1$ перпендикулярна ребру $AB$ и ребру $AD$, так как грани куба ($AA_1B_1B$ и $AA_1D_1D$) являются квадратами. Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $ABCD$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$. Аналогично, прямая $AA_1$ перпендикулярна ребрам $A_1B_1$ и $A_1D_1$, которые пересекаются в точке $A_1$ и лежат в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) Прямая $AD$ перпендикулярна ребру $AB$ (так как грань $ABCD$ — квадрат) и ребру $AA_1$ (так как грань $AA_1D_1D$ — квадрат). Прямые $AB$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $AA_1B_1B$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. Также прямая $AD$ перпендикулярна ребру $DC$ (так как грань $ABCD$ — квадрат) и ребру $DD_1$ (так как грань $AA_1D_1D$ — квадрат, а $AD$ параллельна $A_1D_1$, которая перпендикулярна $DD_1$). Прямые $DC$ и $DD_1$ пересекаются в точке $D$ и лежат в плоскости грани $DCC_1D_1$. Поскольку $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости (или, точнее, прямым, им параллельным, проходящим через точку $D$), то прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $DCC_1D_1$.
Ответ: $AA_1B_1B$ и $DCC_1D_1$.

9.5.

1) Искомые прямые должны быть перпендикулярны двум пересекающимся прямым в плоскости $AA_1B_1B$, например, прямым $AB$ и $AA_1$. Ребро $AD$ перпендикулярно $AB$ (стороны квадрата $ABCD$) и перпендикулярно $AA_1$ (стороны квадрата $AA_1D_1D$). Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. Прямые (ребра), параллельные $AD$, также перпендикулярны этой плоскости. Это ребра $BC$, $A_1D_1$ и $B_1C_1$.
Ответ: $AD$, $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$.

2) Искомые прямые должны быть перпендикулярны двум пересекающимся прямым в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, например, прямым $A_1B_1$ и $A_1D_1$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно $A_1B_1$ (стороны квадрата $AA_1B_1B$) и перпендикулярно $A_1D_1$ (стороны квадрата $AA_1D_1D$). Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Прямые (ребра), параллельные $AA_1$, также перпендикулярны этой плоскости. Это ребра $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.
Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.

Рис. 9.17

9.5. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 9.17). Укажите прямые, которые перпендикулярны плоскости грани: 1) $AA_1B_1B$; 2) $A_1B_1C_1D_1$.

9.4.

1) $AA_1$

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Прямая $AA_1$ является ребром куба. Рассмотрим грань $ABCD$. Так как все грани куба — квадраты, ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $AB$ (из квадрата $ABB_1A_1$) и ребру $AD$ (из квадрата $ADD_1A_1$). Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $ABCD$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$.

Аналогично, прямая $AA_1$ перпендикулярна ребру $A_1B_1$ и ребру $A_1D_1$. Эти ребра пересекаются в точке $A_1$ и лежат в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) $AD$

Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Прямая $AD$ перпендикулярна ребру $AB$ (из квадрата $ABCD$) и ребру $AA_1$ (из квадрата $ADD_1A_1$). Прямые $AB$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$.

Грань $DCC_1D_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$. Так как прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна и параллельной ей плоскости $DCC_1D_1$.

Ответ: $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$.

9.5.

1) $AA_1B_1B$

Нужно найти прямые, перпендикулярные плоскости грани $AA_1B_1B$.

Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AA_1$ и $AB$ в этой плоскости. Следовательно, $AD \perp (AA_1B_1B)$.

Любая прямая, параллельная прямой $AD$, также будет перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. В кубе ребру $AD$ параллельны ребра $BC$, $A_1D_1$ и $B_1C_1$.

Ответ: $AD$, $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$.

2) $A_1B_1C_1D_1$

Нужно найти прямые, перпендикулярные плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$.

Прямая $AA_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_1B_1$ и $A_1D_1$ в этой плоскости. Следовательно, $AA_1 \perp (A_1B_1C_1D_1)$.

Любая прямая, параллельная прямой $AA_1$, также будет перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$. В кубе ребру $AA_1$ параллельны ребра $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.

Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.

9.6.

Предположим, что полный вопрос звучит так: «Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?»

Нет, это утверждение неверно.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости только в том случае, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Перпендикулярности к одной прямой недостаточно.

Приведем контрпример. Рассмотрим плоскость основания куба $(ABC)$ и диагональ боковой грани $A_1D$.

1. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$.

2. Прямая $A_1D$ перпендикулярна прямой $AB$. Это следует из того, что ребро $AB$ перпендикулярно всей плоскости грани $ADD_1A_1$ (так как $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$), а значит, $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $A_1D$.

3. Итак, мы имеем прямую $A_1D$, которая перпендикулярна прямой $AB$ из плоскости $(ABC)$. Однако прямая $A_1D$ не перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Для этого она должна быть перпендикулярна еще одной прямой в этой плоскости, пересекающей $AB$, например, прямой $AD$.

4. Прямая $A_1D$ не перпендикулярна прямой $AD$, так как в прямоугольном треугольнике $A_1AD$ угол $\angle A_1DA = 45^\circ$, а не $90^\circ$.

Следовательно, перпендикулярность прямой к одной прямой в плоскости не гарантирует ее перпендикулярность ко всей плоскости.

Ответ: Нет, неверно.

9.6. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна:

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?

Для решения данной задачи воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Если прямые, которым перпендикулярна данная прямая, параллельны, то нельзя сделать однозначный вывод о перпендикулярности прямой и плоскости.

1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;
Рассмотрим произвольный треугольник. Сторона треугольника и его медиана всегда являются пересекающимися прямыми. Они могут пересекаться в вершине треугольника (если медиана проведена из конца рассматриваемой стороны) или в точке на стороне (если медиана проведена к этой стороне). Так как сторона и медиана всегда пересекаются, то прямая, перпендикулярная им обеим, будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости треугольника. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, такая прямая будет перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;
Средняя линия треугольника по определению соединяет середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне этого треугольника. Следовательно, можно выбрать сторону и среднюю линию, которые будут параллельны друг другу. Если прямая перпендикулярна двум параллельным прямым, лежащим в плоскости, из этого не следует, что она перпендикулярна самой плоскости. Например, в плоскости $Oxy$ прямые $y=0$ и $y=1$ параллельны. Ось $Oy$ перпендикулярна обеим этим прямым, но она лежит в плоскости $Oxy$, а не перпендикулярна ей. Таким образом, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие – нет (боковые стороны, если трапеция не является параллелограммом). Если выбрать в качестве двух сторон основания трапеции, то они будут параллельны. Как и в предыдущем пункте, перпендикулярность прямой двум параллельным прямым не гарантирует ее перпендикулярности плоскости, в которой они лежат. Так как существует случай, когда утверждение не выполняется, оно считается неверным.
Ответ: Неверно.

4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;
Любые два диаметра одной окружности обязательно пересекаются в ее центре. Таким образом, два диаметра всегда являются двумя пересекающимися прямыми, лежащими в плоскости окружности. Если прямая перпендикулярна двум диаметрам, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, эта прямая перпендикулярна плоскости окружности. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?
В правильном шестиугольнике можно выбрать как пересекающиеся, так и параллельные диагонали. Например, главные диагонали (соединяющие противоположные вершины) пересекаются в центре шестиугольника. Однако существуют и пары параллельных диагоналей. Например, в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагональ $AC$ параллельна диагонали $FD$. Если прямая перпендикулярна этим двум параллельным диагоналям, это не означает, что она перпендикулярна плоскости шестиугольника (по той же причине, что и в пунктах 2 и 3). Следовательно, утверждение в общем случае неверно.
Ответ: Неверно.

9.7. Три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$, но не перпендикулярна прямой $c$. Каково взаимное расположение прямых $a$ и $b$?

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Дано:
1. Прямые $a, b, c$ лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha, b \subset \alpha, c \subset \alpha$).
2. Прямая $m$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$ ($m \perp a$ и $m \perp b$).
3. Прямая $m$ не перпендикулярна прямой $c$ ($m \not\perp c$).

Решение:
Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Существует два возможных варианта их взаимного расположения: они либо пересекаются, либо параллельны.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $P$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

В нашем случае, по предположению, прямые $a$ и $b$ пересекаются и лежат в плоскости $\alpha$. Прямая $m$ перпендикулярна обеим этим прямым ($m \perp a$ и $m \perp b$). Следовательно, из нашего предположения вытекает, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($m \perp \alpha$).

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $c$ по условию лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Значит, должно выполняться условие $m \perp c$.

Однако это противоречит условию задачи, где указано, что прямая $m$ не перпендикулярна прямой $c$ ($m \not\perp c$).

Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, было неверным.

Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются, они могут быть только параллельными.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).