Страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.12. Диагонали грани $ABCD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол между прямыми $OB_1$ и $A_1C_1$.

Прямые $OB_1$ и $A_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Прямая $A_1C_1$ является диагональю верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$, а прямая $AC$ — диагональю нижней грани $ABCD$. Так как плоскости оснований куба параллельны ($ (ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1) $), то и соответствующие диагонали этих граней параллельны, то есть $A_1C_1 \parallel AC$.

Следовательно, угол между прямыми $OB_1$ и $A_1C_1$ равен углу между прямыми $OB_1$ и $AC$. Найдем этот угол.

Для нахождения угла между $OB_1$ и $AC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.
Рассмотрим плоскость основания $ABCD$.

• $BB_1$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.
• $OB_1$ — наклонная к плоскости $(ABCD)$.
• $OB$ — проекция наклонной $OB_1$ на плоскость $(ABCD)$.
• Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABCD)$.

В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Так как точка $O$ — точка их пересечения, и отрезок $OB$ является частью диагонали $BD$, то прямая $OB$ перпендикулярна прямой $AC$, то есть $OB \perp AC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость ($OB$) перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости ($AC$), то и сама наклонная ($OB_1$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $OB_1 \perp AC$.

Мы установили, что угол между прямыми $OB_1$ и $AC$ равен $90^\circ$. Поскольку $AC \parallel A_1C_1$, то угол между прямыми $OB_1$ и $A_1C_1$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

8.13. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат, сторона которого равна $a$, боковое ребро параллелепипеда равно $a\sqrt{3}$. Найдите угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$.

По условию задачи, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Его основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a$, следовательно, $AD = a$. Боковое ребро равно $a\sqrt{3}$, так что $AA_1 = a\sqrt{3}$. Необходимо найти угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$.

Прямые $AD_1$ и $B_1C$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелепипедом, его противоположные грани параллельны и равны. В частности, грань $BCC_1B_1$ параллельна и равна грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $B_1C$ можно параллельно перенести так, чтобы он совпадал с отрезком $A_1D$. Таким образом, прямая $B_1C$ параллельна прямой $A_1D$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$ равен углу между пересекающимися прямыми $AD_1$ и $A_1D$. Эти две прямые являются диагоналями прямоугольника $ADD_1A_1$.

Рассмотрим прямоугольник $ADD_1A_1$ со сторонами $AD = a$ и $AA_1 = a\sqrt{3}$. Найдем длину его диагоналей, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADD_1$: $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$. Отсюда длина диагонали $AD_1 = \sqrt{4a^2} = 2a$. Диагонали прямоугольника равны, поэтому $A_1D = AD_1 = 2a$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AD_1$ и $A_1D$. В прямоугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно: $AO = OD = \frac{1}{2} A_1D = \frac{1}{2} \cdot 2a = a$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOD$. Мы знаем длины всех его сторон: $AD = a$, $AO = a$ и $OD = a$. Так как все стороны треугольника равны, то $\triangle AOD$ является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Угол $\angle AOD$ является одним из углов между диагоналями $AD_1$ и $A_1D$. Так как этот угол острый ($60^\circ < 90^\circ$), он и является углом между прямыми.

Ответ: $60^\circ$.

8.14. Точки $E$ и $F$ – середины соответственно рёбер $AA_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте прямую, которая проходит через точку $D_1$, перпендикулярна прямой $EF$ и пересекает отрезок $EF$.

Искомая прямая — это перпендикуляр, опущенный из точки $D_1$ на прямую $EF$. Пусть $H$ — точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $EF$. Тогда прямая $D_1H$ будет искомой. Задача сводится к построению точки $H$ на отрезке $EF$ такой, что $D_1H \perp EF$.

Для этого рассмотрим треугольник $D_1EF$ в пространстве. Точка $H$ является основанием высоты, проведенной из вершины $D_1$ к стороне $EF$.

Построение

1. Соединить точки $E$ и $F$ отрезком.
2. Найти середину отрезка $EF$. Обозначим эту точку $H$.
3. Провести прямую через точки $D_1$ и $H$.

Прямая $D_1H$ является искомой.

Доказательство

Докажем, что построенная прямая $D_1H$ удовлетворяет всем условиям задачи.

По построению прямая $D_1H$ проходит через точку $D_1$ и пересекает отрезок $EF$ в его середине $H$. Осталось доказать, что $D_1H \perp EF$.

Введем обозначение: пусть длина ребра куба равна $a$.

• Точка $E$ — середина ребра $AA_1$, следовательно, $A_1E = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{a}{2}$.
• Точка $F$ — середина ребра $CD$, следовательно, $DF = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим треугольник $D_1EF$ и найдем длины его сторон $D_1E$ и $D_1F$.

1. Длина стороны $D_1E$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1D_1E$. Угол $\angle D_1A_1E = 90^\circ$, так как ребра $A_1D_1$ и $A_1A$ перпендикулярны. По теореме Пифагора:

$D_1E^2 = A_1D_1^2 + A_1E^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

2. Длина стороны $D_1F$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DD_1F$. Угол $\angle D_1DF = 90^\circ$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит и прямой $DF$, лежащей в этой плоскости. По теореме Пифагора:

$D_1F^2 = DD_1^2 + DF^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

Поскольку $D_1E^2 = D_1F^2$, то $D_1E = D_1F$. Это означает, что треугольник $D_1EF$ является равнобедренным с основанием $EF$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. По нашему построению, точка $H$ — середина отрезка $EF$, следовательно, $D_1H$ — медиана треугольника $D_1EF$. Так как эта медиана проведена к основанию $EF$, она также является высотой, то есть $D_1H \perp EF$.

Таким образом, построенная прямая $D_1H$ проходит через точку $D_1$, перпендикулярна прямой $EF$ и пересекает отрезок $EF$.

Ответ: Искомая прямая проходит через точку $D_1$ и середину отрезка $EF$.

8.15. Точки $E, F, M$ и $K$ – середины соответственно рёбер $AB, AD, CD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$. Известно, что $EM = FK$. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Рассмотрим четырёхугольник, образованный соединением заданных точек $E$, $F$, $M$ и $K$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $EF$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, отрезок $EF$ параллелен стороне $BD$ и его длина равна половине длины $BD$:$EF \parallel BD$ и $EF = \frac{1}{2} BD$.

Аналогично, в треугольнике $BCD$ отрезок $MK$ соединяет середины сторон $CD$ и $BC$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $BCD$. По свойству средней линии:$MK \parallel BD$ и $MK = \frac{1}{2} BD$.

Из того, что $EF \parallel BD$ и $MK \parallel BD$, следует, что $EF \parallel MK$.Из того, что $EF = \frac{1}{2} BD$ и $MK = \frac{1}{2} BD$, следует, что $EF = MK$.

Поскольку в четырёхугольнике $EFKM$ две противоположные стороны ($EF$ и $MK$) параллельны и равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

В любом параллелограмме отрезки, соединяющие противоположные вершины, являются его диагоналями. Таким образом, отрезки $EM$ и $FK$ — это диагонали параллелограмма $EFKM$.

По условию задачи дано, что $EM = FK$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, $EFKM$ — это прямоугольник.

Это означает, что все углы в нём прямые, то есть равны $90^\circ$. В частности, угол между смежными сторонами $EF$ и $EK$ равен $90^\circ$.

Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим сторону $EK$ нашего прямоугольника. $EK$ является средней линией треугольника $ABC$, так как соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $EK \parallel AC$.

Мы уже установили, что $EF \parallel BD$.

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ равен углу между пересекающимися в точке $E$ прямыми $EK$ и $EF$. А так как $EFKM$ — прямоугольник, угол между его сторонами $EK$ и $EF$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

8.16. Точки $E, F, M$ и $K$ – середины соответственно рёбер $AB, AD, CD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$. $AC = 12$ см, $BD = 16$ см, $FK = 2\sqrt{13}$ см. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим тетраэдр $DABC$. По условию, точки $E, F, M, K$ являются серединами ребер $AB, AD, CD, BC$ соответственно.

1. В треугольнике $ABD$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $EF$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, $EF$ параллельна $BD$ и равна половине ее длины:
$EF \parallel BD$
$EF = \frac{1}{2}BD = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. В треугольнике $ABC$ отрезок $EK$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $EK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $EK$ параллельна $AC$ и равна половине ее длины:
$EK \parallel AC$
$EK = \frac{1}{2}AC = \frac{12}{2} = 6$ см.

Поскольку $EF \parallel BD$ и $EK \parallel AC$, угол между прямыми $EF$ и $EK$ равен искомому углу между прямыми $AC$ и $BD$. Найдем этот угол, рассмотрев треугольник $EFK$.

В треугольнике $EFK$ нам известны длины всех трех сторон:
$EF = 8$ см
$EK = 6$ см
$FK = 2\sqrt{13}$ см (по условию)

Применим теорему косинусов для треугольника $EFK$, чтобы найти косинус угла $\angle FEK$:
$FK^2 = EF^2 + EK^2 - 2 \cdot EF \cdot EK \cdot \cos(\angle FEK)$

Подставим известные значения:
$(2\sqrt{13})^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(\angle FEK)$
$4 \cdot 13 = 64 + 36 - 96 \cdot \cos(\angle FEK)$
$52 = 100 - 96 \cdot \cos(\angle FEK)$

Выразим $96 \cdot \cos(\angle FEK)$:
$96 \cdot \cos(\angle FEK) = 100 - 52$
$96 \cdot \cos(\angle FEK) = 48$

Отсюда найдем косинус угла:
$\cos(\angle FEK) = \frac{48}{96} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.
$\angle FEK = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

8.17. Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ равны соответственно 24 см и 10 см, $AD = 13$ см. Найдите периметр параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $ABCD$ это свойство записывается в виде формулы:

$AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2$

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), формулу можно упростить:

$AC^2 + BD^2 = 2(AD^2 + AB^2)$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи:

Диагональ $AC = 24$ см.

Диагональ $BD = 10$ см.

Сторона $AD = 13$ см.

Получаем уравнение:

$24^2 + 10^2 = 2(13^2 + AB^2)$

Выполним вычисления:

$576 + 100 = 2(169 + AB^2)$

$676 = 2(169 + AB^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$338 = 169 + AB^2$

Теперь найдем $AB^2$:

$AB^2 = 338 - 169$

$AB^2 = 169$

$AB = \sqrt{169} = 13$ см.

Мы нашли длину второй стороны параллелограмма. Теперь можно вычислить его периметр. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон:

$P_{ABCD} = 2(AD + AB)$

Подставим значения длин сторон:

$P_{ABCD} = 2(13 + 13) = 2 \cdot 26 = 52$ см.

Ответ: 52 см.

8.18. Точка $D$ является образом вершины $B$ треугольника $ABC$ при симметрии относительно биссектрисы угла $BAC$. Найдите отрезок $CD$, если $AB = 4$ см, $AC = 7$ см.

Пусть $AL$ — биссектриса угла $BAC$. По условию, точка $D$ является образом вершины $B$ при симметрии относительно прямой $AL$.

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния. Вершина $A$ лежит на оси симметрии $AL$. Согласно свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси до исходной точки равно расстоянию от этой же точки до ее образа. Следовательно, расстояние от точки $A$ до точки $B$ равно расстоянию от точки $A$ до точки $D$.

$AD = AB$

Из условия задачи известно, что $AB = 4$ см, поэтому:

$AD = 4$ см.

Рассмотрим расположение точки $D$. При симметрии относительно биссектрисы угла один луч, образующий угол, отображается на другой. В данном случае, при симметрии относительно биссектрисы $AL$ угла $BAC$, луч $AB$ отображается на луч, содержащий точку $D$. Угол между лучом $AB$ и биссектрисой $AL$ равен углу между образом луча $AD$ и биссектрисой $AL$.

То есть, $\angle BAL = \angle DAL$.

Поскольку $AL$ является биссектрисой угла $BAC$, мы также знаем, что:

$\angle BAL = \angle CAL$.

Сравнивая два равенства, получаем:

$\angle DAL = \angle CAL$.

Так как лучи $AD$ и $AC$ исходят из одной и той же точки $A$ и образуют одинаковый угол с прямой $AL$, находясь по одну сторону от нее, эти лучи совпадают. Это означает, что точка $D$ лежит на луче $AC$.

Таким образом, точки $A$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой. Нам известны расстояния $AC = 7$ см и $AD = 4$ см. Поскольку $AD < AC$, точка $D$ лежит на отрезке $AC$.

Длину отрезка $CD$ можно найти как разность длин отрезков $AC$ и $AD$:

$CD = AC - AD = 7 \text{ см} - 4 \text{ см} = 3 \text{ см}.$

Ответ: 3 см.