Номер 15, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 15, страница 87.

Условие.

8.15. Точки $E, F, M$ и $K$ – середины соответственно рёбер $AB, AD, CD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$. Известно, что $EM = FK$. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим четырёхугольник, образованный соединением заданных точек $E$, $F$, $M$ и $K$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $EF$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, отрезок $EF$ параллелен стороне $BD$ и его длина равна половине длины $BD$:$EF \parallel BD$ и $EF = \frac{1}{2} BD$.

Аналогично, в треугольнике $BCD$ отрезок $MK$ соединяет середины сторон $CD$ и $BC$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $BCD$. По свойству средней линии:$MK \parallel BD$ и $MK = \frac{1}{2} BD$.

Из того, что $EF \parallel BD$ и $MK \parallel BD$, следует, что $EF \parallel MK$.Из того, что $EF = \frac{1}{2} BD$ и $MK = \frac{1}{2} BD$, следует, что $EF = MK$.

Поскольку в четырёхугольнике $EFKM$ две противоположные стороны ($EF$ и $MK$) параллельны и равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

В любом параллелограмме отрезки, соединяющие противоположные вершины, являются его диагоналями. Таким образом, отрезки $EM$ и $FK$ — это диагонали параллелограмма $EFKM$.

По условию задачи дано, что $EM = FK$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, $EFKM$ — это прямоугольник.

Это означает, что все углы в нём прямые, то есть равны $90^\circ$. В частности, угол между смежными сторонами $EF$ и $EK$ равен $90^\circ$.

Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим сторону $EK$ нашего прямоугольника. $EK$ является средней линией треугольника $ABC$, так как соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $EK \parallel AC$.

Мы уже установили, что $EF \parallel BD$.

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ равен углу между пересекающимися в точке $E$ прямыми $EK$ и $EF$. А так как $EFKM$ — прямоугольник, угол между его сторонами $EK$ и $EF$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.