Номер 14, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14, страница 87.

Условие.

8.14. Точки $E$ и $F$ – середины соответственно рёбер $AA_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте прямую, которая проходит через точку $D_1$, перпендикулярна прямой $EF$ и пересекает отрезок $EF$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Искомая прямая — это перпендикуляр, опущенный из точки $D_1$ на прямую $EF$. Пусть $H$ — точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $EF$. Тогда прямая $D_1H$ будет искомой. Задача сводится к построению точки $H$ на отрезке $EF$ такой, что $D_1H \perp EF$.

Для этого рассмотрим треугольник $D_1EF$ в пространстве. Точка $H$ является основанием высоты, проведенной из вершины $D_1$ к стороне $EF$.

Построение

1. Соединить точки $E$ и $F$ отрезком.
2. Найти середину отрезка $EF$. Обозначим эту точку $H$.
3. Провести прямую через точки $D_1$ и $H$.

Прямая $D_1H$ является искомой.

Доказательство

Докажем, что построенная прямая $D_1H$ удовлетворяет всем условиям задачи.

По построению прямая $D_1H$ проходит через точку $D_1$ и пересекает отрезок $EF$ в его середине $H$. Осталось доказать, что $D_1H \perp EF$.

Введем обозначение: пусть длина ребра куба равна $a$.

• Точка $E$ — середина ребра $AA_1$, следовательно, $A_1E = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{a}{2}$.
• Точка $F$ — середина ребра $CD$, следовательно, $DF = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим треугольник $D_1EF$ и найдем длины его сторон $D_1E$ и $D_1F$.

1. Длина стороны $D_1E$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1D_1E$. Угол $\angle D_1A_1E = 90^\circ$, так как ребра $A_1D_1$ и $A_1A$ перпендикулярны. По теореме Пифагора:

$D_1E^2 = A_1D_1^2 + A_1E^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

2. Длина стороны $D_1F$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DD_1F$. Угол $\angle D_1DF = 90^\circ$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит и прямой $DF$, лежащей в этой плоскости. По теореме Пифагора:

$D_1F^2 = DD_1^2 + DF^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

Поскольку $D_1E^2 = D_1F^2$, то $D_1E = D_1F$. Это означает, что треугольник $D_1EF$ является равнобедренным с основанием $EF$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. По нашему построению, точка $H$ — середина отрезка $EF$, следовательно, $D_1H$ — медиана треугольника $D_1EF$. Так как эта медиана проведена к основанию $EF$, она также является высотой, то есть $D_1H \perp EF$.

Таким образом, построенная прямая $D_1H$ проходит через точку $D_1$, перпендикулярна прямой $EF$ и пересекает отрезок $EF$.

Ответ: Искомая прямая проходит через точку $D_1$ и середину отрезка $EF$.