Номер 8, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 8, страница 86.

Условие.

8.8. Известно, что $AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$ (рис. 8.11). Найдите отрезок $CD$, если $BC = 17$ см, $AB = 15$ см, $BD = 3\sqrt{29}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку отрезки $AB$, $AC$ и $AD$ попарно перпендикулярны ($AB \perp AC$, $AB \perp AD$, $AC \perp AD$), то треугольники $ABC$, $ABD$ и $ACD$ являются прямоугольными с общей вершиной прямого угла в точке $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора найдем длину катета $AC$. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
Отсюда, $AC^2 = BC^2 - AB^2$.
Подставим известные значения $BC = 17$ см и $AB = 15$ см:
$AC^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
$AC = \sqrt{64} = 8$ см.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора найдем длину катета $AD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
Отсюда, $AD^2 = BD^2 - AB^2$.
Подставим известные значения $BD = 3\sqrt{29}$ см и $AB = 15$ см:
$AD^2 = (3\sqrt{29})^2 - 15^2 = (9 \cdot 29) - 225 = 261 - 225 = 36$
$AD = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Мы нашли длины его катетов $AC = 8$ см и $AD = 6$ см. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $CD$:
$CD^2 = AC^2 + AD^2$
Подставим найденные значения:
$CD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.