Номер 6, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 86.

Условие.

8.6. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и треугольник $MEF$ не лежат в одной плоскости, точка $E$ – середина отрезка $AB$, точка $F$ – середина отрезка $CD$, $ME = FE$, $\angle MEF = 110^\circ$. Найдите угол между прямыми:

1) $AD$ и $EF$;

2) $AD$ и $ME$;

3) $BC$ и $MF$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) AD и EF

В трапеции $ABCD$ точки $E$ и $F$ являются серединами боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Отрезок $EF$, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции. По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Следовательно, прямая $EF$ параллельна прямой $AD$ ($EF \parallel AD$).

Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

2) AD и ME

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Прямые $AD$ и $ME$ — скрещивающиеся, так как трапеция $ABCD$ и треугольник $MEF$ не лежат в одной плоскости.

Поскольку $EF \parallel AD$ (как показано в пункте 1), угол между прямыми $AD$ и $ME$ равен углу между параллельной ей прямой $EF$ и прямой $ME$. Эти прямые пересекаются в точке $E$, образуя угол $\angle MEF$.

По условию задачи $\angle MEF = 110^\circ$. Углом между двумя прямыми принято считать наименьший из углов, образованных при их пересечении. При пересечении прямых $ME$ и $EF$ образуются два смежных угла: $110^\circ$ и $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Наименьший из них равен $70^\circ$.

Следовательно, угол между прямыми $AD$ и $ME$ равен $70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

3) BC и MF

Прямые $BC$ и $MF$ являются скрещивающимися. Основание $BC$ трапеции параллельно ее средней линии $EF$ ($BC \parallel EF$).

Следовательно, угол между прямыми $BC$ и $MF$ равен углу между параллельной ей прямой $EF$ и прямой $MF$. Эти прямые пересекаются в точке $F$, образуя угол $\angle MFE$.

Рассмотрим треугольник $MEF$. По условию $ME = FE$, значит, $\triangle MEF$ — равнобедренный с основанием $MF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle MFE = \angle EMF$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Используя это свойство для $\triangle MEF$, получаем:

$\angle MFE + \angle EMF + \angle MEF = 180^\circ$

Так как $\angle MFE = \angle EMF$ и $\angle MEF = 110^\circ$, то:

$2 \cdot \angle MFE + 110^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle MFE = 180^\circ - 110^\circ$

$2 \cdot \angle MFE = 70^\circ$

$\angle MFE = 35^\circ$

Так как угол $35^\circ$ является острым, это и есть искомый угол между прямыми $BC$ и $MF$.

Ответ: $35^\circ$.