Номер 2, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Угол между прямыми в пространстве. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 2, страница 85.

Условие.

8.2. Дан куб $ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ (рис. 8.8). Найдите угол между прямыми:

1) $CD$ и $BC$;

2) $A{{A}_{1}}$ и ${{C}_{1}}{{D}_{1}};

3) $A{{A}_{1}}$ и ${{D}_{1}}C$;

4) $AC$ и ${{B}_{1}}{{D}_{1}};

5) ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ и $AC$.

Рис. 8.8

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $CD$ и $BC$

Прямые $CD$ и $BC$ являются смежными ребрами грани $ABCD$. Так как грань $ABCD$ является квадратом, то угол между его смежными сторонами в точке пересечения $C$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) $AA_1$ и $C_1D_1$

Прямые $AA_1$ и $C_1D_1$ — скрещивающиеся. Поскольку ребро $AA_1$ параллельно ребру $DD_1$ ($AA_1 \parallel DD_1$), угол между прямыми $AA_1$ и $C_1D_1$ равен углу между прямыми $DD_1$ и $C_1D_1$. Прямые $DD_1$ и $C_1D_1$ — это смежные ребра грани-квадрата $CDD_1C_1$, поэтому угол между ними, $\angle C_1D_1D$, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3) $AA_1$ и $D_1C$

Прямые $AA_1$ и $D_1C$ — скрещивающиеся. Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $DD_1$. Искомый угол равен углу между прямыми $DD_1$ и $D_1C$, которые пересекаются в точке $D_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle CD_1D$. Он прямоугольный, так как ребро $CD$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$ и, следовательно, ребру $DD_1$ ($\angle CDD_1 = 90^\circ$). Катеты $CD$ и $DD_1$ равны как ребра куба. Значит, $\triangle CD_1D$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острый угол $\angle CD_1D = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

4) $AC$ и $B_1D_1$

Прямые $AC$ и $B_1D_1$ — скрещивающиеся. Прямая $B_1D_1$ — диагональ верхней грани, а $AC$ — диагональ нижней. Прямая $B_1D_1$ параллельна диагонали $BD$ нижней грани. Следовательно, угол между $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$ квадрата $ABCD$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому искомый угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

5) $A_1C_1$ и $AC$

Прямые $A_1C_1$ и $AC$ являются диагоналями верхней и нижней граней куба соответственно. Так как верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ получена из нижней грани $ABCD$ путем параллельного переноса, прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$. Угол между параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.