Номер 39, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 39, страница 73.

Условие.

7.39. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $AB = 6$ см, $AD = 2\sqrt{3}$ см. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$. Угол между прямыми $AC$ и $BD$ - это острый угол, образованный при пересечении этих диагоналей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Угол $\angle D = 90°$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AC$, которая является диагональю прямоугольника:
$AC^2 = AD^2 + DC^2$
По свойству прямоугольника $DC = AB = 6$ см. Подставим известные значения:
$AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = 4 \cdot 3 + 36 = 12 + 36 = 48$
$AC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD = 4\sqrt{3}$ см, и
$AO = OC = BO = OD = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Мы знаем длины всех его сторон:
$AO = 2\sqrt{3}$ см,
$OD = 2\sqrt{3}$ см,
$AD = 2\sqrt{3}$ см (по условию).

Поскольку все стороны треугольника $\triangle AOD$ равны ($AO = OD = AD$), то этот треугольник является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$. Следовательно, угол $\angle AOD = 60°$.

Угол $\angle AOD$ является одним из углов между диагоналями. Другой угол, смежный с ним, $\angle AOB = 180° - 60° = 120°$.
Углом между двумя пересекающимися прямыми принято считать меньший из образовавшихся углов. В нашем случае это $60°$.

Ответ: $60°$.