Страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.39. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $AB = 6$ см, $AD = 2\sqrt{3}$ см. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$. Угол между прямыми $AC$ и $BD$ - это острый угол, образованный при пересечении этих диагоналей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Угол $\angle D = 90°$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AC$, которая является диагональю прямоугольника:
$AC^2 = AD^2 + DC^2$
По свойству прямоугольника $DC = AB = 6$ см. Подставим известные значения:
$AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = 4 \cdot 3 + 36 = 12 + 36 = 48$
$AC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD = 4\sqrt{3}$ см, и
$AO = OC = BO = OD = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Мы знаем длины всех его сторон:
$AO = 2\sqrt{3}$ см,
$OD = 2\sqrt{3}$ см,
$AD = 2\sqrt{3}$ см (по условию).

Поскольку все стороны треугольника $\triangle AOD$ равны ($AO = OD = AD$), то этот треугольник является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$. Следовательно, угол $\angle AOD = 60°$.

Угол $\angle AOD$ является одним из углов между диагоналями. Другой угол, смежный с ним, $\angle AOB = 180° - 60° = 120°$.
Углом между двумя пересекающимися прямыми принято считать меньший из образовавшихся углов. В нашем случае это $60°$.

Ответ: $60°$.

7.40. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 13$ см, $BC = 5\sqrt{2}$ см, $AC = 7$ см.

Найдите угол между прямыми $AC$ и $BC$.

Для нахождения угла между прямыми $AC$ и $BC$ найдем величину угла $\angle C$ в треугольнике $ABC$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов, так как известны длины всех трех сторон треугольника.

Теорема косинусов для треугольника $ABC$ гласит:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$где $a$, $b$, $c$ — стороны, лежащие против углов $A$, $B$ и $C$ соответственно.В нашем случае $a = BC = 5\sqrt{2}$ см, $b = AC = 7$ см, $c = AB = 13$ см.

Запишем теорему косинусов для стороны $AB$:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Выразим из этой формулы $\cos(\angle C)$:$\cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$

Подставим известные значения в формулу:$\cos(\angle C) = \frac{7^2 + (5\sqrt{2})^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 5\sqrt{2}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:$7^2 = 49$$(5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$$13^2 = 169$$2 \cdot 7 \cdot 5\sqrt{2} = 70\sqrt{2}$

$\cos(\angle C) = \frac{49 + 50 - 169}{70\sqrt{2}} = \frac{99 - 169}{70\sqrt{2}} = \frac{-70}{70\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы найти угол, косинус которого равен $-\frac{1}{\sqrt{2}}$, можно упростить выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:$\cos(\angle C) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол треугольника может быть в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, в этом диапазоне составляет $135^\circ$.Следовательно, внутренний угол треугольника $\angle C = 135^\circ$.

По определению, угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, которые они образуют. Прямые $AC$ и $BC$ образуют два смежных угла: $135^\circ$ и $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.Наименьший из этих углов равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.