Страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.14. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением правильного треугольника $ABC$ (рис. 7.28). Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Рис. 7.28

Поскольку исходный треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним), то его центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с точкой пересечения его медиан (центроидом).

При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Это свойство имеет важное следствие: середина отрезка проектируется в середину его изображения. Таким образом, медиана треугольника (отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны) при проектировании переходит в медиану его изображения. Так как точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины, и это отношение сохраняется при проектировании, то изображение центроида исходного треугольника является центроидом его изображения.

Следовательно, чтобы построить изображение центра вписанной окружности правильного треугольника $ABC$, необходимо построить центроид его изображения — треугольника $A_1B_1C_1$. Для этого нужно найти точку пересечения его медиан.

Построение выполняется следующим образом:

1. Находим середину одной из сторон треугольника $A_1B_1C_1$, например, стороны $A_1B_1$. Обозначим эту точку $M_1$.
2. Соединяем точку $M_1$ с противолежащей вершиной $C_1$. Отрезок $C_1M_1$ является медианой треугольника $A_1B_1C_1$.
3. Находим середину другой стороны, например, $B_1C_1$. Обозначим эту точку $K_1$.
4. Соединяем точку $K_1$ с противолежащей вершиной $A_1$. Отрезок $A_1K_1$ является второй медианой.
5. Точка пересечения медиан $C_1M_1$ и $A_1K_1$ и есть искомое изображение центра вписанной окружности.

Ответ: Изображением центра вписанной в правильный треугольник $ABC$ окружности является точка пересечения медиан (центроид) его изображения — треугольника $A_1B_1C_1$.

7.15. Параллелограмм $A_1 B_1 C_1 D_1$ является изображением квадрата $ABCD$ (рис. 7.29). Постройте изображение осей симметрии данного квадрата.

Рис. 7.29

Квадрат $ABCD$ имеет четыре оси симметрии: две прямые, проходящие через середины противоположных сторон, и две диагонали. При параллельном проецировании, которое переводит квадрат $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, свойства фигур сохраняются выборочно. Для построения изображений осей симметрии воспользуемся инвариантными (сохраняющимися) свойствами параллельного проецирования.

Первая пара осей симметрии квадрата — это прямые, соединяющие середины его противоположных сторон. Ключевым свойством параллельного проецирования является сохранение середины отрезка, то есть изображение середины отрезка является серединой изображения отрезка. На основе этого свойства и выполняется построение.

Построение:

1. Находим точку $M_1$ — середину стороны $A_1B_1$ и точку $N_1$ — середину стороны $D_1C_1$. Проводим прямую $M_1N_1$. Эта прямая, являющаяся средней линией параллелограмма, есть изображение одной из осей симметрии квадрата.

2. Находим точку $P_1$ — середину стороны $B_1C_1$ и точку $Q_1$ — середину стороны $A_1D_1$. Проводим прямую $P_1Q_1$. Эта прямая, вторая средняя линия параллелограмма, является изображением другой оси симметрии квадрата.

Вторая пара осей симметрии квадрата — это его диагонали $AC$ и $BD$. Изображением отрезка, соединяющего две точки-вершины, является отрезок, соединяющий изображения этих вершин. Следовательно, изображениями диагоналей квадрата являются диагонали параллелограмма-изображения.

Построение:

1. Проводим диагональ $A_1C_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Она является изображением диагонали $AC$ квадрата.

2. Проводим диагональ $B_1D_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Она является изображением диагонали $BD$ квадрата.

Таким образом, построены изображения всех четырех осей симметрии квадрата. Это две диагонали и две средние линии параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: Изображениями осей симметрии квадрата являются две диагонали данного параллелограмма ($A_1C_1$ и $B_1D_1$) и две его средние линии (прямые, проходящие через середины противоположных сторон $A_1B_1$ и $D_1C_1$, а также $B_1C_1$ и $A_1D_1$).

7.16. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (рис. 7.30). Постройте изображение какого-либо прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.

Рис. 7.28

Рис. 7.29

Рис. 7.30

Анализ и план решения

Задача состоит в построении изображения прямоугольного треугольника, который вписан в некоторую окружность. При параллельном проектировании эта окружность изображается в виде данного эллипса с центром $O_1$.

Воспользуемся фундаментальным свойством прямоугольного треугольника, вписанного в окружность: его гипотенуза всегда является диаметром этой окружности. Соответственно, центр окружности является серединой гипотенузы.

При параллельном проектировании сохраняются следующие отношения:

• Диаметр окружности проектируется в диаметр эллипса (хорду, проходящую через центр эллипса $O_1$).
• Точка, лежащая на окружности, проектируется в точку, лежащую на эллипсе.

Таким образом, для построения изображения прямоугольного треугольника, нам нужно построить изображение его гипотенузы и изображение третьей вершины.

Построение

1. Проведем через центр эллипса $O_1$ произвольную прямую. Точки ее пересечения с эллипсом, назовем их $A_1$ и $B_1$, образуют диаметр эллипса $A_1B_1$. Этот диаметр является изображением диаметра исходной окружности, а значит, и изображением гипотенузы искомого прямоугольного треугольника.

2. Выберем на эллипсе любую другую точку $C_1$, не совпадающую с $A_1$ или $B_1$. Эта точка будет изображением третьей вершины треугольника (вершины с прямым углом), так как в оригинале эта вершина лежит на окружности.

3. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым изображением прямоугольного треугольника, вписанного в окружность.

Пример построения показан на рисунке ниже.

Ответ: Для построения изображения прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, следует: 1) провести произвольный диаметр $A_1B_1$ данного эллипса (он будет изображением гипотенузы); 2) выбрать на эллипсе любую точку $C_1$, отличную от $A_1$ и $B_1$ (она будет изображением вершины прямого угла); 3) соединить точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ — искомое изображение.

Рис. 7.30

7.17. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (см. рис. 7.30). Постройте изображение какого-либо прямоугольника, вписанного в данную окружность.

При параллельном проецировании окружность изображается в виде эллипса, а центр окружности $O$ — в виде центра эллипса $O_1$.

Прямоугольник, вписанный в окружность, обладает следующими свойствами:

• Его диагонали равны и являются диаметрами описанной окружности.
• Диагонали пересекаются в центре окружности и делятся этой точкой пополам.

Параллельное проецирование сохраняет параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. В частности, середина отрезка проецируется в середину его изображения.

Из этих свойств следует, что изображением прямоугольника $ABCD$, вписанного в окружность, будет параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, вписанный в эллипс. Диагонали этого параллелограмма ($A_1C_1$ и $B_1D_1$) будут пересекаться в центре эллипса $O_1$ и являться его диаметрами.

Любой параллелограмм, вписанный в эллипс, диагонали которого пересекаются в центре эллипса, является изображением некоторого прямоугольника, вписанного в исходную окружность. Поэтому для решения задачи достаточно построить любой такой параллелограмм.

Построение

1. В эллипсе с центром $O_1$ проведем произвольный диаметр. Для этого выберем на эллипсе произвольную точку $A_1$ и, проведя отрезок $A_1O_1$, продлим его до пересечения с эллипсом в точке $C_1$. Отрезок $A_1C_1$ — первый диаметр.
2. Проведем второй произвольный диаметр $B_1D_1$, не совпадающий с первым. Для этого выберем на эллипсе другую точку $B_1$ и аналогично построим диаметр $B_1D_1$, проходящий через центр $O_1$.
3. Последовательно соединим отрезками точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$.

Полученный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом, так как его диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ по построению пересекаются в точке $O_1$ и делятся ею пополам. Этот параллелограмм вписан в эллипс и является искомым изображением прямоугольника.

Ответ: Изображением прямоугольника, вписанного в окружность, является параллелограмм, вписанный в эллипс-изображение этой окружности, диагонали которого пересекаются в центре эллипса. Для построения нужно провести два произвольных диаметра эллипса ($A_1C_1$ и $B_1D_1$) и соединить их концы. Полученный параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является искомым изображением.

7.18. Эллипс с центром $O_1$ и отрезок $A_1B_1$ являются изображением окружности с центром $O$ и её хорды $AB$ (рис. 7.31). Постройте изображение диаметра данной окружности, перпендикулярного хорде $AB$.

Рис. 7.31

Для решения этой задачи используются свойства окружности и свойства параллельного проектирования. В окружности диаметр, перпендикулярный хорде, всегда проходит через середину этой хорды. Пусть исходная хорда — $AB$, а ее середина — точка $M$. Диаметр $CD$, перпендикулярный хорде $AB$, проходит через центр окружности $O$ и точку $M$.

При параллельном проектировании сохраняется свойство «быть серединой отрезка». Это означает, что изображение середины отрезка совпадает с серединой изображения этого отрезка. Следовательно, середина $M_1$ отрезка $A_1B_1$ (который является изображением хорды $AB$) есть изображение середины $M$ хорды $AB$. Изображением центра окружности $O$ является центр эллипса $O_1$.

Так как исходный диаметр $CD$ лежал на прямой, проходящей через точки $O$ и $M$, то его изображение будет лежать на прямой, проходящей через изображения этих точек — $O_1$ и $M_1$.

Таким образом, алгоритм построения искомого изображения диаметра следующий:

1. Построить середину $M_1$ отрезка $A_1B_1$. Это можно выполнить с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к отрезку $A_1B_1$. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $A_1B_1$ и будет его серединой $M_1$.

2. Провести прямую через центр эллипса $O_1$ и найденную точку $M_1$.

3. Отрезок этой прямой, концы которого принадлежат эллипсу, и является искомым изображением диаметра.

Ответ: Искомым изображением диаметра является хорда эллипса, проходящая через его центр $O_1$ и середину изображения данной хорды $A_1B_1$.

7.19. На рисунке 7.32 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, на ребре $CD$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $B_1$;

2) точки $M$.

Рис. 7.32

Центральная симметрия относительно точки (центра симметрии) — это преобразование пространства, при котором любая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $PP'$. Для построения образа куба необходимо построить образы всех его вершин, а затем соединить их в соответствующем порядке.

1) вершины B₁;

Чтобы построить образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ при симметрии относительно вершины $B_1$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Образом центра симметрии, точки $B_1$, является сама точка $B_1$. Обозначим образ вершины $X$ как $X'$. Тогда $B_1' = B_1$.
2. Для нахождения образа любой другой вершины, например $A$, нужно соединить ее с центром симметрии $B_1$ и на продолжении отрезка $AB_1$ за точку $B_1$ отложить отрезок $B_1A'$, равный отрезку $AB_1$. Точка $A'$ будет образом точки $A$.
3. Аналогичным образом строим образы всех остальных вершин куба: $B, C, D, A_1, C_1, D_1$. Получим соответственно точки $B', C', D', A_1', C_1', D_1'$.
4. Соединив полученные вершины-образы ребрами в соответствующем порядке, получим куб $A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'$.

Геометрически, новый куб будет иметь с исходным одну общую вершину $B_1$. Три ребра нового куба, выходящие из этой вершины ($B_1A_1'$, $B_1C_1'$, $B_1B'$), будут являться продолжениями трех ребер исходного куба ($A_1B_1, C_1B_1, BB_1$). Другими словами, для векторов, определяющих эти ребра, выполняется соотношение: $\vec{B_1A_1'} = -\vec{B_1A_1}$, $\vec{B_1C_1'} = -\vec{B_1C_1}$ и $\vec{B_1B'} = -\vec{B_1B}$.

Ответ: Построен куб $A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'$, симметричный исходному относительно точки $B_1$. Эти два куба имеют единственную общую точку — вершину $B_1$.

2) точки M.

Построение образа куба при симметрии относительно точки $M$, лежащей на ребре $CD$, выполняется по тому же принципу.

1. Для каждой вершины исходного куба $V$ (где $V \in \{A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\}$) находим ее образ $V''$. Для этого проводим прямую через точки $V$ и $M$ и на этой прямой откладываем отрезок $MV''$, равный отрезку $VM$, так чтобы точка $M$ была серединой отрезка $VV''$.
2. Образом точки $M$, как центра симметрии, является сама точка $M$.
3. После нахождения образов всех восьми вершин $A'', B'', C'', D'', A_1'', B_1'', C_1'', D_1''$, соединяем их ребрами, сохраняя порядок соединения исходного куба. В результате получаем новый куб $A''B''C''D''A_1''B_1''C_1''D_1''$.

Рассмотрим расположение полученного куба относительно исходного:

• Поскольку точка $M$ лежит на ребре $CD$ в плоскости основания $ABCD$, образ этой плоскости при симметрии относительно $M$ совпадет с ней самой. Таким образом, грань-образ $A''B''C''D''$ также будет лежать в плоскости основания.
• Грань $A''B''C''D''$ является образом грани $ABCD$ при центральной симметрии относительно точки $M$. Это эквивалентно повороту грани $ABCD$ на $180^\circ$ вокруг точки $M$ в плоскости основания.
• Верхняя грань исходного куба $A_1B_1C_1D_1$ лежит в плоскости, параллельной основанию. Образ этой грани, $A_1''B_1''C_1''D_1''$, будет лежать в плоскости, симметричной исходной относительно точки $M$. Если основание $ABCD$ лежит в плоскости $z=0$, то верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ лежит в плоскости $z=a$ (где $a$ - ребро куба). Тогда ее образ $A_1''B_1''C_1''D_1''$ будет лежать в плоскости $z=-a$.
• Таким образом, исходный куб расположен в полупространстве $z \ge 0$, а его образ — в полупространстве $z \le 0$. Они соприкасаются в плоскости $z=0$. Ребро $CD$ исходного куба и ребро $C''D''$ (образ ребра $CD$) полученного куба лежат на одной прямой, и точка $M$ принадлежит обоим этим ребрам.

Ответ: Построен куб $A''B''C''D''A_1''B_1''C_1''D_1''$, симметричный исходному относительно точки $M$. Этот куб "присоединен" к исходному вдоль линии, содержащей ребро $CD$, и расположен в противоположном полупространстве относительно плоскости основания $ABCD$.

7.20. На рисунке 7.33 изображён тетраэдр $DABC$, на ребре $AB$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного тетраэдра при симметрии относительно:

Рис. 7.31

Рис. 7.32

Рис. 7.33

1) вершины A;

Центральная симметрия относительно точки (центра) $O$ — это преобразование пространства, при котором каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что $O$ является серединой отрезка $PP'$. Векторно это условие можно записать как $\vec{OP'} = -\vec{OP}$.

В данном случае центром симметрии является вершина $A$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, нужно построить образы его вершин $D, A, B, C$. Обозначим их $D', A', B', C'$ соответственно.

1. Построение образа вершины A:
Поскольку точка $A$ является центром симметрии, она отображается сама на себя. Таким образом, $A' = A$.

2. Построение образа вершины B:
Точка $B'$ должна быть симметрична точке $B$ относительно $A$. Это означает, что $A$ — середина отрезка $BB'$. Для построения точки $B'$ нужно провести луч $BA$ и отложить на нем от точки $A$ отрезок $AB'$ равный отрезку $AB$. Векторно: $\vec{AB'} = -\vec{AB}$.

3. Построение образа вершины C:
Аналогично, точка $A$ является серединой отрезка $CC'$. Проводим луч $CA$ и откладываем на нем от точки $A$ отрезок $AC'$ равный отрезку $AC$. Векторно: $\vec{AC'} = -\vec{AC}$.

4. Построение образа вершины D:
Точка $A$ является серединой отрезка $DD'$. Проводим луч $DA$ и откладываем на нем от точки $A$ отрезок $AD'$ равный отрезку $AD$. Векторно: $\vec{AD'} = -\vec{AD}$.

5. Построение итогового тетраэдра:
Соединив полученные точки $A', B', C', D'$, мы получим искомый тетраэдр $A'B'C'D'$, который является образом тетраэдра $DABC$. Так как $A' = A$, искомый тетраэдр — это $AB'C'D'$.

Ответ: Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно вершины $A$, необходимо построить точки $B', C', D'$, симметричные соответственно точкам $B, C, D$ относительно точки $A$. Вершина $A$ при этом отобразится сама в себя. Искомым образом будет тетраэдр $AB'C'D'$.

2) точки M.

В этом случае центром симметрии является точка $M$, лежащая на ребре $AB$. Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$, нужно построить образы его вершин $A, B, C, D$ относительно точки $M$. Обозначим их $A'', B'', C'', D''$ соответственно. Для любой вершины $P$ ее образ $P''$ строится так, что точка $M$ является серединой отрезка $PP''$. Векторно: $\vec{MP''} = -\vec{MP}$.

1. Построение образа вершины A:
Проводим луч $AM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MA''$, равный отрезку $AM$. Точка $A''$ будет лежать на прямой $AB$.

2. Построение образа вершины B:
Проводим луч $BM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MB''$, равный отрезку $MB$. Точка $B''$ также будет лежать на прямой $AB$.

3. Построение образа вершины C:
Проводим луч $CM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MC''$, равный отрезку $MC$.

4. Построение образа вершины D:
Проводим луч $DM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MD''$, равный отрезку $MD$.

5. Построение итогового тетраэдра:
Соединив полученные точки $A'', B'', C'', D''$, мы получим искомый тетраэдр $A''B''C''D''$, который является образом тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно точки $M$.

Ответ: Чтобы построить образ тетраэдра $DABC$ при симметрии относительно точки $M$, необходимо для каждой вершины $P \in \{A, B, C, D\}$ построить симметричную ей точку $P''$ относительно центра $M$. Это делается построением отрезка $P''M$, равного отрезку $PM$, на луче, дополнительном к лучу $PM$. Искомым образом будет тетраэдр, образованный вершинами $A'', B'', C'', D''$.