Номер 16, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 16, страница 70.

Условие.

7.16. Эллипс с центром $O_1$ является изображением окружности с центром $O$ (рис. 7.30). Постройте изображение какого-либо прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.

Рис. 7.28

Рис. 7.29

Рис. 7.30

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Анализ и план решения

Задача состоит в построении изображения прямоугольного треугольника, который вписан в некоторую окружность. При параллельном проектировании эта окружность изображается в виде данного эллипса с центром $O_1$.

Воспользуемся фундаментальным свойством прямоугольного треугольника, вписанного в окружность: его гипотенуза всегда является диаметром этой окружности. Соответственно, центр окружности является серединой гипотенузы.

При параллельном проектировании сохраняются следующие отношения:

• Диаметр окружности проектируется в диаметр эллипса (хорду, проходящую через центр эллипса $O_1$).
• Точка, лежащая на окружности, проектируется в точку, лежащую на эллипсе.

Таким образом, для построения изображения прямоугольного треугольника, нам нужно построить изображение его гипотенузы и изображение третьей вершины.

Построение

1. Проведем через центр эллипса $O_1$ произвольную прямую. Точки ее пересечения с эллипсом, назовем их $A_1$ и $B_1$, образуют диаметр эллипса $A_1B_1$. Этот диаметр является изображением диаметра исходной окружности, а значит, и изображением гипотенузы искомого прямоугольного треугольника.

2. Выберем на эллипсе любую другую точку $C_1$, не совпадающую с $A_1$ или $B_1$. Эта точка будет изображением третьей вершины треугольника (вершины с прямым углом), так как в оригинале эта вершина лежит на окружности.

3. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым изображением прямоугольного треугольника, вписанного в окружность.

Пример построения показан на рисунке ниже.

Ответ: Для построения изображения прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, следует: 1) провести произвольный диаметр $A_1B_1$ данного эллипса (он будет изображением гипотенузы); 2) выбрать на эллипсе любую точку $C_1$, отличную от $A_1$ и $B_1$ (она будет изображением вершины прямого угла); 3) соединить точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ — искомое изображение.