Номер 11, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 11, страница 69.

Условие.

7.11. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$ (рис. 7.26). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет $AC$.

Рис. 7.26

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $ABC$ — исходный прямоугольный треугольник, где $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты. Угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением треугольника $ABC$ при параллельном проектировании.

Задача состоит в построении изображения перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы $AB$ на катет $AC$. Обозначим середину гипотенузы $AB$ точкой $M$, а основание перпендикуляра на катете $AC$ — точкой $H$. Таким образом, нам нужно построить изображение отрезка $MH$.

Рассмотрим свойства отрезка $MH$ в исходном треугольнике $ABC$. По условию, $MH \perp AC$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, катет $BC$ также перпендикулярен катету $AC$ ($BC \perp AC$). Поскольку две прямые ($MH$ и $BC$) перпендикулярны третьей прямой ($AC$), они параллельны между собой: $MH \parallel BC$.

Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. Прямая $MH$ проходит через точку $M$ — середину стороны $AB$ — и параллельна стороне $BC$. Согласно теореме Фалеса, эта прямая пересекает сторону $AC$ в её середине. Следовательно, точка $H$ является серединой катета $AC$.

Таким образом, искомый отрезок $MH$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$, то есть является средней линией треугольника $ABC$.

При параллельном проектировании свойство "быть серединой отрезка" сохраняется. Это означает, что изображение точки $M$ (середины $AB$) будет точкой $M_1$ — серединой отрезка $A_1B_1$. Аналогично, изображение точки $H$ (середины $AC$) будет точкой $H_1$ — серединой отрезка $A_1C_1$. Изображением отрезка $MH$ будет отрезок $M_1H_1$.

Исходя из этого, построение сводится к следующим шагам:

1. Найти середину $M_1$ отрезка $A_1B_1$.
2. Найти середину $H_1$ отрезка $A_1C_1$.
3. Соединить точки $M_1$ и $H_1$ отрезком.

Этот отрезок $M_1H_1$ и будет искомым изображением.

Ответ: Искомое изображение — это отрезок, соединяющий середину отрезка $A_1B_1$ (изображения гипотенузы) с серединой отрезка $A_1C_1$ (изображения катета).