Номер 4, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 4, страница 68.

Условие.

7.4. Может ли параллельной проекцией двух пересекающихся прямых быть:

1) две пересекающиеся прямые;

2) параллельные прямые;

3) одна прямая;

4) прямая и точка вне её?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим каждый случай отдельно, исходя из свойств параллельного проецирования. Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$.

1) две пересекающиеся прямые

Да, может. Это наиболее общий случай. Если плоскость, в которой лежат пересекающиеся прямые $a$ и $b$, не параллельна направлению проецирования, то проекцией каждой прямой будет прямая. Точка их пересечения $M$ спроецируется в точку $M'$, которая будет принадлежать проекциям обеих прямых. Следовательно, проекции прямых $a'$ и $b'$ будут пересекаться в точке $M'$.
Ответ: да, может.

2) параллельные прямые

Нет, не может. При параллельном проецировании точка пересечения исходных прямых $M$ переходит в точку $M'$, которая принадлежит проекциям обеих прямых. Таким образом, у проекций всегда есть как минимум одна общая точка. Параллельные прямые по определению не имеют общих точек. Следовательно, проекции пересекающихся прямых не могут быть параллельными.
Ответ: нет, не может.

3) одна прямая

Да, может. Две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ определяют единственную плоскость $\alpha$. Если направление проецирования параллельно этой плоскости $\alpha$ (но не параллельно ни одной из исходных прямых), то вся плоскость $\alpha$ спроецируется в одну прямую на плоскости проекции. Поскольку обе прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$, их проекции совпадут и образуют одну прямую.
Ответ: да, может.

4) прямая и точка вне её

Нет, не может. Чтобы проекцией одной из прямых (например, $b$) была точка, направление проецирования должно быть параллельно этой прямой $b$. При этом прямая $a$, которая пересекает прямую $b$, не будет параллельна направлению проецирования, и её проекцией будет прямая $a'$.
Однако исходные прямые $a$ и $b$ имеют общую точку $M$. Её проекция, точка $M'$, должна принадлежать проекциям обеих фигур. Проекция прямой $b$ — это точка, пусть это будет точка $B'$. Проекция прямой $a$ — это прямая $a'$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $b$, её проекция $M'$ совпадает с точкой $B'$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$, её проекция $M'$ должна лежать на прямой $a'$. Следовательно, точка $B'$ (проекция прямой $b$) лежит на прямой $a'$ (проекции прямой $a$). Таким образом, получить прямую и точку вне её невозможно.
Ответ: нет, не может.