Номер 1, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 1, страница 68.

Условие.

7.1. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 7.23). При некотором параллельном переносе образом точки $A$ является точка $A_1$. Какая фигура является при данном параллельном переносе образом:

1) точки $D$;

2) отрезка $AB$;

3) отрезка $BC$;

4) отрезка $AC$?

Рис. 7.23

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Параллельный перенос переводит точку $A$ в точку $A_1$. Это означает, что данный параллельный перенос задаётся вектором $\vec{v} = \vec{AA_1}$. При параллельном переносе любая точка $M$ переходит в точку $M'$ такую, что $\vec{MM'} = \vec{v}$.

В кубе все боковые рёбра равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим рёбрам и направленные в одну сторону, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

1) точки D

Чтобы найти образ точки $D$, нужно выполнить перенос на вектор $\vec{AA_1}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{DD_1}$, то образом точки $D$ при переносе на вектор $\vec{DD_1}$ будет точка $D_1$.
Ответ: точка $D_1$.

2) отрезка AB

Образом отрезка при параллельном переносе является отрезок, концами которого служат образы концов исходного отрезка.

• Образ точки $A$ — это точка $A_1$ (по условию).
• Образ точки $B$ — это точка $B'$, для которой $\vec{BB'} = \vec{AA_1}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$, то образом точки $B$ является точка $B_1$.

Следовательно, образом отрезка $AB$ является отрезок $A_1B_1$.
Ответ: отрезок $A_1B_1$.

3) отрезка BC

Найдём образы концов отрезка $BC$.

• Образ точки $B$ — это точка $B_1$, как было показано в предыдущем пункте.
• Образ точки $C$ — это точка $C'$, для которой $\vec{CC'} = \vec{AA_1}$. Так как $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$, то образом точки $C$ является точка $C_1$.

Следовательно, образом отрезка $BC$ является отрезок $B_1C_1$.
Ответ: отрезок $B_1C_1$.

4) отрезка AC

Найдём образы концов отрезка $AC$.

• Образ точки $A$ — это точка $A_1$ (по условию).
• Образ точки $C$ — это точка $C_1$, как было показано в предыдущем пункте.

Следовательно, образом отрезка $AC$, который является диагональю нижнего основания, является отрезок $A_1C_1$, который является диагональю верхнего основания.
Ответ: отрезок $A_1C_1$.