Номер 3, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 3, страница 68.

Условие.

7.3. Фигура состоит из трёх точек. Из какого количества точек может состоять параллельная проекция этой фигуры?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Параллельная проекция фигуры, состоящей из трёх точек, может состоять из одной, двух или трёх точек. Количество точек в проекции зависит от взаимного расположения исходных трёх точек в пространстве и от направления проектирования по отношению к ним.

Пусть исходная фигура состоит из трёх точек $A$, $B$ и $C$. Их параллельные проекции на некоторую плоскость обозначим как $A'$, $B'$ и $C'$. Рассмотрим все возможные случаи.

Проекция состоит из 3 точек

Это наиболее общий случай. Если направление проектирования не параллельно ни одной из прямых, проходящих через пары точек ($AB$, $BC$, $AC$), то все три точки $A$, $B$ и $C$ спроецируются в три различные точки $A'$, $B'$ и $C'$. Такое направление проектирования можно выбрать всегда, независимо от того, лежат ли исходные точки на одной прямой или нет.

Проекция состоит из 2 точек

Этот случай возможен, если проекции двух из трёх точек совпадают, а третья — нет. Например, $A' = B'$, но $C'$ — отдельная точка. Это произойдет, если прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, будет параллельна направлению проектирования, а прямые $AC$ и $BC$ не будут ему параллельны. Такое условие выполнимо только в том случае, если точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, то есть образуют треугольник. Выбрав направление проектирования параллельно одной из сторон этого треугольника (например, $AB$), мы получим, что точки $A$ и $B$ спроецируются в одну точку, а вершина $C$ — в другую.

Проекция состоит из 1 точки

Этот случай возможен, если проекции всех трёх точек совпадают: $A' = B' = C'$. Это произойдет, если все прямые, соединяющие пары точек ($AB$, $BC$, $AC$), параллельны направлению проектирования. Такое возможно только в том случае, если исходные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Если выбрать направление проектирования параллельно этой прямой, то все три точки спроецируются в одну единственную точку на плоскости проекции.

Ответ: Параллельная проекция фигуры, состоящей из трёх точек, может состоять из 1, 2 или 3 точек.