Номер 6, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 6, страница 68.

Условие.

7.6. 1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков?

2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков?

3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка?

4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков?

Да, могут. Длина проекции отрезка зависит как от его собственной длины, так и от его расположения в пространстве относительно плоскости и направления проецирования. Можно подобрать такие расположения для двух неравных отрезков, что их проекции будут равны.

Рассмотрим ортогональное проецирование (частный случай параллельного) на некоторую плоскость $\pi$. Длина проекции $L'$ отрезка длиной $L$, составляющего с плоскостью $\pi$ угол $\alpha$, вычисляется по формуле $L' = L \cdot \cos(\alpha)$.

Возьмем два неравных отрезка $AB$ и $CD$ с длинами $L_1 = 2$ и $L_2 = 4$ соответственно. Расположим отрезок $AB$ под углом $\alpha_1 = 60^\circ$ к плоскости $\pi$, а отрезок $CD$ — под углом $\alpha_2$, для которого $\cos(\alpha_2) = 1/2$. Например, можно взять $\alpha_2$ такой, что $\cos(\alpha_2) = \frac{L_1 \cos(\alpha_1)}{L_2} = \frac{2 \cdot \cos(60^\circ)}{4} = \frac{2 \cdot 0.5}{4} = 1/4$. Тогда длины их проекций будут равны:
Длина проекции $AB$: $L'_1 = L_1 \cos(\alpha_1) = 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 0.5 = 1$.
Длина проекции $CD$: $L'_2 = L_2 \cos(\alpha_2) = 4 \cdot (1/4) = 1$.

Таким образом, проекции $L'_1$ и $L'_2$ равны, хотя исходные отрезки не были равны.

Более простой пример: если два неравных отрезка расположить параллельно направлению проецирования, то их проекциями будут две точки. Длина проекции в обоих случаях будет равна нулю, то есть проекции будут равны.
Ответ: Да, могут.

2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков?

Да, могут. Как и в предыдущем вопросе, всё зависит от расположения отрезков. Если взять два равных отрезка и расположить их по-разному относительно плоскости и направления проецирования, их проекции, как правило, будут иметь разную длину.

Снова используем пример с ортогональным проецированием. Возьмем два равных отрезка $AB$ и $CD$ длиной $L=10$.

1. Расположим отрезок $AB$ параллельно плоскости проецирования $\pi$. Угол $\alpha_1$ между отрезком и плоскостью равен $0^\circ$. Длина его проекции будет $L'_1 = 10 \cdot \cos(0^\circ) = 10 \cdot 1 = 10$.
2. Расположим отрезок $CD$ под углом $\alpha_2 = 60^\circ$ к плоскости $\pi$. Длина его проекции будет $L'_2 = 10 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5$.

В результате проекции $L'_1=10$ и $L'_2=5$ не равны, хотя исходные отрезки были равны.
Ответ: Да, могут.

3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка?

Да, может. Это невозможно при ортогональном проецировании (когда направление проецирования перпендикулярно плоскости), так как в этом случае длина проекции равна $L' = L \cdot \cos(\alpha) \le L$. Однако при косом (неортогональном) проецировании проекция может быть длиннее исходного отрезка.

Простой наглядный пример — тень от предмета. Представим вертикальный шест (отрезок) и горизонтальную землю (плоскость проецирования). Солнечные лучи задают направление параллельного проецирования. Когда солнце находится низко над горизонтом, его лучи падают на землю под острым углом. В этом случае тень от шеста (его проекция) будет гораздо длиннее самого шеста.

Математически, если направление проецирования составляет с плоскостью проецирования достаточно малый угол, проекция будет длиннее отрезка. Например, пусть плоскость проецирования — это $Oxy$, а направление проецирования задано вектором $\vec{s}$. Если угол между $\vec{s}$ и плоскостью $Oxy$ меньше $45^\circ$, то проекция вертикального отрезка длиной $h$ будет иметь длину больше $h$.
Ответ: Да, может.

4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

Да, может. Это одно из фундаментальных свойств параллельного проецирования. Проекция прямой параллельна исходной прямой в том случае, если исходная прямая параллельна плоскости проецирования (и при этом не параллельна направлению проецирования).

Рассмотрим два случая:
1. Прямая $a$ лежит в плоскости проецирования $\pi$. В этом случае каждая точка прямой проецируется сама в себя. Таким образом, проекция $a'$ совпадает с прямой $a$. Совпадающие прямые по определению являются параллельными.
2. Прямая $a$ параллельна плоскости проецирования $\pi$, но не лежит в ней. Возьмем любые две точки $A$ и $B$ на прямой $a$. Их проекции на плоскость $\pi$ — это точки $A'$ и $B'$. Прямая $a'$ (проекция прямой $a$) проходит через $A'$ и $B'$. Так как проецирование параллельное, отрезки $AA'$ и $BB'$ параллельны (они оба параллельны направлению проецирования). Четырехугольник $ABB'A'$ является трапецией (или параллелограммом), и его основания $AB$ и $A'B'$ лежат на параллельных прямых $a$ и $a'$. Следовательно, прямая $a'$ параллельна прямой $a$.

Ответ: Да, может.