Номер 2, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 2, страница 68.

Условие.

7.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 7.23). При некотором параллельном переносе образом отрезка $BB_1$ является отрезок $CC_1$. Образом какой фигуры при данном параллельном переносе является:

1) точка $D$;

2) отрезок $D_1C$;

3) грань $CC_1D_1D$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, при некотором параллельном переносе образом отрезка $BB_1$ является отрезок $CC_1$. Это означает, что точка $B$ переходит в точку $C$, а точка $B_1$ переходит в точку $C_1$. Следовательно, данный параллельный перенос задается вектором переноса $\vec{v} = \vec{BC}$.

Чтобы найти прообраз фигуры (то есть фигуру, которая переходит в данную), необходимо выполнить обратное преобразование — параллельный перенос на вектор, противоположный вектору $\vec{v}$. Таким вектором является $-\vec{v} = -\vec{BC} = \vec{CB}$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ справедливы следующие равенства векторов: $\vec{CB} = \vec{DA} = \vec{C_1B_1} = \vec{D_1A_1}$.

1) точка $D_1$

Чтобы найти прообраз точки $D_1$, нужно перенести точку $D_1$ на вектор $\vec{CB}$. Используя равенство $\vec{CB} = \vec{D_1A_1}$, мы видим, что перенос точки $D_1$ на вектор $\vec{D_1A_1}$ отображает ее в точку $A_1$. Таким образом, прообразом точки $D_1$ является точка $A_1$.
Ответ: точка $A_1$.

2) отрезок $D_1C$

Прообразом отрезка при параллельном переносе является отрезок. Чтобы его найти, достаточно найти прообразы его концов — точек $D_1$ и $C$.
Прообраз точки $D_1$ найден в предыдущем пункте — это точка $A_1$.
Чтобы найти прообраз точки $C$, перенесем ее на вектор $\vec{CB}$. В результате этого переноса точка $C$ перейдет в точку $B$.
Следовательно, прообразом отрезка $D_1C$ является отрезок $A_1B$.
Ответ: отрезок $A_1B$.

3) грань $CC_1D_1D$

Прообразом грани является грань. Чтобы ее найти, найдем прообразы ее вершин: $C$, $C_1$, $D_1$, $D$.

• Прообраз точки $C$ — это точка $B$ (как найдено в п. 2).
• Прообраз точки $C_1$: переносим точку $C_1$ на вектор $\vec{CB}$. Так как $\vec{CB} = \vec{C_1B_1}$, точка $C_1$ переходит в точку $B_1$.
• Прообраз точки $D_1$ — это точка $A_1$ (как найдено в п. 1).
• Прообраз точки $D$: переносим точку $D$ на вектор $\vec{CB}$. Так как $\vec{CB} = \vec{DA}$, точка $D$ переходит в точку $A$.

Таким образом, прообразами вершин $C, C_1, D_1, D$ являются соответственно вершины $B, B_1, A_1, A$. Эти вершины образуют грань $ABB_1A_1$.
Ответ: грань $ABB_1A_1$.