Номер 5, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 5, страница 68.

Условие.

7.5. Какая геометрическая фигура не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых:

1) две параллельные прямые;

2) две пересекающиеся прямые;

3) прямая и точка на ней;

4) прямая и точка вне её?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для ответа на вопрос проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) две параллельные прямые

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ с направляющими векторами $\vec{d_a}$ и $\vec{d_b}$. Так как прямые скрещиваются, их направляющие векторы не коллинеарны. Существует плоскость $\alpha$, параллельная обеим этим прямым (ее направляющими векторами будут $\vec{d_a}$ и $\vec{d_b}$). Если выбрать направление проектирования $s$ параллельно этой плоскости $\alpha$ (но не параллельно самим прямым $a$ или $b$), то плоскости, проходящие через каждую из прямых параллельно направлению $s$, будут параллельны друг другу. Их проекции на плоскость проекции (не параллельную им) будут двумя параллельными прямыми. Следовательно, такой случай возможен.

Ответ: две параллельные прямые могут быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

2) две пересекающиеся прямые

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Если выбрать направление проектирования $s$, не параллельное плоскости, которая параллельна обеим прямым, то всегда найдется единственная пара точек $A$ на прямой $a$ и $B$ на прямой $b$, для которых вектор $\vec{AB}$ будет коллинеарен вектору направления проектирования $\vec{s}$. При таком проектировании точки $A$ и $B$ спроецируются в одну и ту же точку $C'$. Так как направление проектирования не параллельно ни одной из исходных прямых, их проекциями будут прямые $a'$ и $b'$. Точка $C'$ будет их общей точкой, то есть точкой пересечения. Следовательно, такой случай возможен.

Ответ: две пересекающиеся прямые могут быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

3) прямая и точка на ней

Чтобы проекцией одной прямой (например, $a$) была точка, направление проектирования $s$ должно быть параллельно этой прямой. Тогда проекцией прямой $a$ будет точка $A'$. Проекцией второй прямой $b$ будет прямая $b'$ (поскольку $b$ не параллельна $a$, она не будет параллельна и направлению $s$).Для того чтобы точка-проекция $A'$ лежала на прямой-проекции $b'$, необходимо, чтобы существовала прямая, параллельная направлению $s$ (то есть параллельная прямой $a$), которая соединяет точку на прямой $a$ с точкой на прямой $b$. Это означало бы, что существует точка $B$ на прямой $b$, которая также лежит на прямой, проходящей через некоторую точку $A$ на $a$ и параллельной $a$. Это возможно только если точка $B$ лежит на самой прямой $a$. Таким образом, точка $B$ должна быть точкой пересечения прямых $a$ и $b$. Но скрещивающиеся прямые по определению не пересекаются. Возникает противоречие. Следовательно, такой случай невозможен.

Ответ: прямая и точка на ней не могут быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.

4) прямая и точка вне её

Как показано в анализе предыдущего пункта, если выбрать направление проектирования $s$ параллельно одной из прямых, например $a$, то ее проекцией будет точка $A'$, а проекцией второй прямой $b$ — прямая $b'$. Также было доказано, что точка $A'$ не может лежать на прямой $b'$. Таким образом, проекция двух скрещивающихся прямых может представлять собой прямую и точку вне этой прямой. Следовательно, такой случай возможен.

Ответ: прямая и точка вне её могут быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых.