Номер 7, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 7, страница 69.

Условие.

7.7. Может ли фигура, изображённая на рисунке 7.24, быть параллельной проекцией треугольника?

Рис. 7.24

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Да, фигура, изображённая на рисунке, может быть параллельной проекцией треугольника.

Разберем это утверждение подробно. Параллельная проекция — это отображение точек пространства на некоторую плоскость (плоскость проекций) вдоль заданного параллельного пучка прямых (направления проецирования).

Пусть в пространстве имеется треугольник $T$ с вершинами $P, Q, R$. По определению треугольника, его вершины не лежат на одной прямой (не коллинеарны). На рисунке 7.24 изображены три точки $A, B, C$, лежащие на одной прямой. Вопрос заключается в том, могут ли точки $A, B, C$ быть параллельными проекциями вершин $P, Q, R$.

Существует два принципиально разных случая взаимного расположения плоскости, содержащей треугольник (обозначим ее $\alpha$), и направления проецирования.

Случай 1: Плоскость $\alpha$ не параллельна направлению проецирования. В этом случае параллельная проекция является аффинным преобразованием, которое сопоставляет точкам плоскости $\alpha$ точки на плоскости проекций. Важное свойство аффинных преобразований заключается в том, что они сохраняют свойство точек не лежать на одной прямой. Так как вершины $P, Q, R$ не коллинеарны, их проекции $A, B, C$ также не будут коллинеарны. Они образуют треугольник, а не три точки на одной прямой. Следовательно, этот случай не соответствует изображению на рисунке.

Случай 2: Плоскость $\alpha$ параллельна направлению проецирования. Это означает, что все проецирующие прямые, проходящие через точки треугольника $T$, параллельны плоскости $\alpha$ и, следовательно, лежат в самой плоскости $\alpha$. Проекция всего треугольника на плоскость проекций $\pi$ будет представлять собой пересечение плоскости $\alpha$ с плоскостью $\pi$. Две непараллельные плоскости пересекаются по прямой. Таким образом, проекция всего треугольника $T$ будет лежать на этой прямой, то есть будет являться отрезком. Соответственно, проекции вершин $P, Q, R$ — точки $A, B, C$ — будут принадлежать этому отрезку и, следовательно, лежать на одной прямой. Эта ситуация полностью соответствует фигуре, изображенной на рисунке.

Таким образом, отрезок с тремя отмеченными точками может быть параллельной проекцией треугольника.

Ответ: Да, может. Это возможно, если плоскость, содержащая исходный треугольник, параллельна направлению проецирования.