Страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.7. Может ли фигура, изображённая на рисунке 7.24, быть параллельной проекцией треугольника?

Рис. 7.24

Да, фигура, изображённая на рисунке, может быть параллельной проекцией треугольника.

Разберем это утверждение подробно. Параллельная проекция — это отображение точек пространства на некоторую плоскость (плоскость проекций) вдоль заданного параллельного пучка прямых (направления проецирования).

Пусть в пространстве имеется треугольник $T$ с вершинами $P, Q, R$. По определению треугольника, его вершины не лежат на одной прямой (не коллинеарны). На рисунке 7.24 изображены три точки $A, B, C$, лежащие на одной прямой. Вопрос заключается в том, могут ли точки $A, B, C$ быть параллельными проекциями вершин $P, Q, R$.

Существует два принципиально разных случая взаимного расположения плоскости, содержащей треугольник (обозначим ее $\alpha$), и направления проецирования.

Случай 1: Плоскость $\alpha$ не параллельна направлению проецирования. В этом случае параллельная проекция является аффинным преобразованием, которое сопоставляет точкам плоскости $\alpha$ точки на плоскости проекций. Важное свойство аффинных преобразований заключается в том, что они сохраняют свойство точек не лежать на одной прямой. Так как вершины $P, Q, R$ не коллинеарны, их проекции $A, B, C$ также не будут коллинеарны. Они образуют треугольник, а не три точки на одной прямой. Следовательно, этот случай не соответствует изображению на рисунке.

Случай 2: Плоскость $\alpha$ параллельна направлению проецирования. Это означает, что все проецирующие прямые, проходящие через точки треугольника $T$, параллельны плоскости $\alpha$ и, следовательно, лежат в самой плоскости $\alpha$. Проекция всего треугольника на плоскость проекций $\pi$ будет представлять собой пересечение плоскости $\alpha$ с плоскостью $\pi$. Две непараллельные плоскости пересекаются по прямой. Таким образом, проекция всего треугольника $T$ будет лежать на этой прямой, то есть будет являться отрезком. Соответственно, проекции вершин $P, Q, R$ — точки $A, B, C$ — будут принадлежать этому отрезку и, следовательно, лежать на одной прямой. Эта ситуация полностью соответствует фигуре, изображенной на рисунке.

Таким образом, отрезок с тремя отмеченными точками может быть параллельной проекцией треугольника.

Ответ: Да, может. Это возможно, если плоскость, содержащая исходный треугольник, параллельна направлению проецирования.

7.8. Может ли параллельной проекцией трапеции быть четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$, которого соответственно равны:

1) $10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ;$

2) $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ?$

Основное свойство параллельного проецирования заключается в том, что оно сохраняет параллельность прямых. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны (основания), а две другие (боковые стороны) — нет. Следовательно, параллельная проекция трапеции, если она не вырождается в отрезок, также является трапецией, так как параллельность оснований сохранится, а непараллельность боковых сторон — тоже.

Признаком трапеции является то, что сумма ее внутренних углов, прилежащих к одной из боковых сторон, равна $180^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы которого соответственно равны $10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ$. Сумма его углов равна $10^\circ + 40^\circ + 140^\circ + 170^\circ = 360^\circ$, так что такой четырехугольник существует.

Проверим, является ли он трапецией, вычислив суммы углов, прилежащих к каждой стороне:
$\angle A_1 + \angle B_1 = 10^\circ + 40^\circ = 50^\circ \neq 180^\circ$
$\angle B_1 + \angle C_1 = 40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$
$\angle C_1 + \angle D_1 = 140^\circ + 170^\circ = 310^\circ \neq 180^\circ$
$\angle D_1 + \angle A_1 = 170^\circ + 10^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма углов, прилежащих к сторонам $B_1C_1$ и $A_1D_1$, равна $180^\circ$, это означает, что стороны $A_1B_1$ и $D_1C_1$ параллельны. Так как суммы углов при других двух сторонах не равны $180^\circ$, стороны $B_1C_1$ и $A_1D_1$ не параллельны. Следовательно, данный четырехугольник является трапецией.

Так как параллельная проекция трапеции является трапецией, а данный четырехугольник — трапеция, то он может быть проекцией некоторой трапеции.

Ответ: да, может.

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, углы которого соответственно равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$. Сумма его углов равна $50^\circ + 130^\circ + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ$.

Проверим суммы соседних углов:
$\angle A_1 + \angle B_1 = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ$
$\angle B_1 + \angle C_1 = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$

Из равенства $\angle A_1 + \angle B_1 = 180^\circ$ следует, что стороны $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны. Из равенства $\angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$ следует, что стороны $A_1B_1$ и $D_1C_1$ параллельны. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Кроме того, у него равны противолежащие углы: $\angle A_1 = \angle C_1 = 50^\circ$ и $\angle B_1 = \angle D_1 = 130^\circ$.

Согласно стандартному определению, принятому в школьном курсе геометрии, трапеция — это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна, а две другие — нет. При таком определении параллелограмм не является трапецией.

Параллельное проектирование (если оно не вырождено, то есть не переводит фигуру в отрезок) сохраняет как параллельность, так и непараллельность прямых. Следовательно, проекцией трапеции (у которой одна пара сторон параллельна, а другая — нет) должен быть четырехугольник, также обладающий этим свойством, то есть трапеция, а не параллелограмм.

Таким образом, данный четырехугольник, являющийся параллелограммом, не может быть параллельной проекцией трапеции.

Ответ: нет, не может.

7.9. Может ли параллельной проекцией параллелограмма быть четырёх-угольник со сторонами:

1) 6 см, 8 см, 6 см, 9 см;

2) 12 см, 12 см, 12 см, 12 см?

При параллельном проецировании параллельные прямые переходят в параллельные прямые, а также сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Отсюда следует, что параллельной проекцией параллелограмма (не вырожденной в отрезок) всегда является параллелограмм. Характерным свойством любого параллелограмма является попарное равенство длин его противолежащих сторон.

1) Рассмотрим четырехугольник, стороны которого в последовательном порядке равны 6 см, 8 см, 6 см, 9 см. Пары его противолежащих сторон имеют длины (6 см, 6 см) и (8 см, 9 см). Поскольку в одной из пар стороны не равны ($8 \text{ см} \neq 9 \text{ см}$), этот четырехугольник не является параллелограммом. Следовательно, он не может быть получен в результате параллельного проецирования параллелограмма.
Ответ: нет.

2) Рассмотрим четырехугольник со сторонами 12 см, 12 см, 12 см, 12 см. Такой четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Ромб — это частный случай параллелограмма. Так как проекцией параллелограмма является параллелограмм, а ромб — это параллелограмм, то такая проекция возможна. Например, проекцией квадрата или прямоугольника при определенном направлении и плоскости проецирования может быть ромб.
Ответ: да.

7.10. Параллелограмм $A_1 B_1 C_1 D_1$ является изображением прямоугольника $ABCD$ (рис. 7.25). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону $BC$.

Рис. 7.23

Рис. 7.24

Рис. 7.25

Поскольку параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ является изображением (параллельной проекцией) прямоугольника $ABCD$, для построения изображения искомого перпендикуляра необходимо проанализировать свойства исходной фигуры и свойства параллельного проектирования.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$. Пусть $OM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $BC$ (точка $M$ лежит на стороне $BC$).

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Из этого следует, что $OB = OC$. Таким образом, треугольник $OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, перпендикуляр $OM$ является медианой треугольника $OBC$, а это значит, что точка $M$ — середина стороны $BC$.

При параллельном проектировании сохраняются следующие свойства:

• Точка пересечения диагоналей фигуры проецируется в точку пересечения диагоналей ее изображения. Таким образом, изображение точки $O$ — это точка $O_1$, где $O_1$ является пересечением диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$ параллелограмма.
• Середина отрезка проецируется в середину изображения этого отрезка. Так как точка $M$ является серединой стороны $BC$, ее изображение (точка $M_1$) будет являться серединой стороны $B_1C_1$ параллелограмма.

Следовательно, изображение перпендикуляра $OM$ есть отрезок $O_1M_1$.

Алгоритм построения:

1. В заданном параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ проводим диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$.
2. Обозначаем точку их пересечения $O_1$.
3. Находим середину стороны $B_1C_1$ (например, с помощью циркуля и линейки или измерением) и обозначаем ее $M_1$.
4. Соединяем точки $O_1$ и $M_1$ отрезком.

Отрезок $O_1M_1$ и является искомым изображением перпендикуляра.

Ответ: Изображением перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону $BC$, является отрезок $O_1M_1$, где $O_1$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, а $M_1$ — середина его стороны $B_1C_1$.

7.11. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$ (рис. 7.26). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет $AC$.

Рис. 7.26

Пусть $ABC$ — исходный прямоугольный треугольник, где $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты. Угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением треугольника $ABC$ при параллельном проектировании.

Задача состоит в построении изображения перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы $AB$ на катет $AC$. Обозначим середину гипотенузы $AB$ точкой $M$, а основание перпендикуляра на катете $AC$ — точкой $H$. Таким образом, нам нужно построить изображение отрезка $MH$.

Рассмотрим свойства отрезка $MH$ в исходном треугольнике $ABC$. По условию, $MH \perp AC$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, катет $BC$ также перпендикулярен катету $AC$ ($BC \perp AC$). Поскольку две прямые ($MH$ и $BC$) перпендикулярны третьей прямой ($AC$), они параллельны между собой: $MH \parallel BC$.

Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. Прямая $MH$ проходит через точку $M$ — середину стороны $AB$ — и параллельна стороне $BC$. Согласно теореме Фалеса, эта прямая пересекает сторону $AC$ в её середине. Следовательно, точка $H$ является серединой катета $AC$.

Таким образом, искомый отрезок $MH$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$, то есть является средней линией треугольника $ABC$.

При параллельном проектировании свойство "быть серединой отрезка" сохраняется. Это означает, что изображение точки $M$ (середины $AB$) будет точкой $M_1$ — серединой отрезка $A_1B_1$. Аналогично, изображение точки $H$ (середины $AC$) будет точкой $H_1$ — серединой отрезка $A_1C_1$. Изображением отрезка $MH$ будет отрезок $M_1H_1$.

Исходя из этого, построение сводится к следующим шагам:

1. Найти середину $M_1$ отрезка $A_1B_1$.
2. Найти середину $H_1$ отрезка $A_1C_1$.
3. Соединить точки $M_1$ и $H_1$ отрезком.

Этот отрезок $M_1H_1$ и будет искомым изображением.

Ответ: Искомое изображение — это отрезок, соединяющий середину отрезка $A_1B_1$ (изображения гипотенузы) с серединой отрезка $A_1C_1$ (изображения катета).

7.12. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$), точка $M_1$ – изображение некоторой точки $M$ отрезка $AB$ (рис. 7.27). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$.

Рис. 7.26

Рис. 7.27

Пусть $ABC$ — исходный равнобедренный треугольник, в котором $AB = BC$, а $A_1B_1C_1$ — его изображение. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, а $M_1$ — ее изображение на $A_1B_1$. Требуется построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$.

Обозначим этот перпендикуляр как $MK$, где $K$ — основание перпендикуляра на прямой $AC$. Так как $MK \perp AC$, то прямая $MK$ параллельна высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на основание $AC$. Обозначим эту высоту как $BH$, где $H$ — ее основание на $AC$. Таким образом, $MK \parallel BH$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ является серединой отрезка $AC$.

При параллельном проектировании, которое используется для получения изображений в стереометрии, сохраняются следующие свойства:

• Параллельность прямых сохраняется. Если $MK \parallel BH$, то их изображения $M_1K_1$ и $B_1H_1$ также будут параллельны.
• Середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка. Так как $H$ — середина $AC$, то ее изображение $H_1$ будет серединой отрезка $A_1C_1$.

На основе этих свойств можно построить искомое изображение.

Построение:

1. Находим точку $H_1$ — середину отрезка $A_1C_1$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки или просто измерив длину $A_1C_1$ и разделив ее пополам.
2. Проводим отрезок $B_1H_1$. Этот отрезок является изображением высоты и медианы $BH$ треугольника $ABC$.
3. Через данную точку $M_1$ на отрезке $A_1B_1$ проводим прямую, параллельную отрезку $B_1H_1$.
4. Точку пересечения этой прямой со стороной $A_1C_1$ обозначаем $K_1$.

Отрезок $M_1K_1$ и есть искомое изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$.

Ответ: Искомое изображение — это отрезок $M_1K_1$, построенный путём проведения прямой через точку $M_1$ параллельно отрезку $B_1H_1$, где $H_1$ — середина основания $A_1C_1$, а $K_1$ — точка пересечения этой прямой с $A_1C_1$.

7.13. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекциями соответственно точек $A$, $B$ и $C$, лежащих на одной прямой (точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$). Найдите отрезок $B_1C_1$, если $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $A_1B_1 = 12$ см.

7.13. При параллельном проецировании точек, лежащих на одной прямой, сохраняется отношение длин отрезков, образованных этими точками. Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой и точка B находится между A и C, а точки A₁, B₁ и C₁ являются их параллельными проекциями, то выполняется следующее соотношение:

$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

В задаче даны следующие значения: $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $A_1B_1 = 12$ см. Подставим эти значения в пропорцию, чтобы найти длину отрезка $B_1C_1$:

$\frac{8}{6} = \frac{12}{B_1C_1}$

Выразим из этого уравнения $B_1C_1$:

$B_1C_1 = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9$ см.

Ответ: 9 см.