Номер 12, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 12, страница 69.

Условие.

7.12. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$), точка $M_1$ – изображение некоторой точки $M$ отрезка $AB$ (рис. 7.27). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$.

Рис. 7.26

Рис. 7.27

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $ABC$ — исходный равнобедренный треугольник, в котором $AB = BC$, а $A_1B_1C_1$ — его изображение. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, а $M_1$ — ее изображение на $A_1B_1$. Требуется построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$.

Обозначим этот перпендикуляр как $MK$, где $K$ — основание перпендикуляра на прямой $AC$. Так как $MK \perp AC$, то прямая $MK$ параллельна высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на основание $AC$. Обозначим эту высоту как $BH$, где $H$ — ее основание на $AC$. Таким образом, $MK \parallel BH$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ является серединой отрезка $AC$.

При параллельном проектировании, которое используется для получения изображений в стереометрии, сохраняются следующие свойства:

• Параллельность прямых сохраняется. Если $MK \parallel BH$, то их изображения $M_1K_1$ и $B_1H_1$ также будут параллельны.
• Середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка. Так как $H$ — середина $AC$, то ее изображение $H_1$ будет серединой отрезка $A_1C_1$.

На основе этих свойств можно построить искомое изображение.

Построение:

1. Находим точку $H_1$ — середину отрезка $A_1C_1$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки или просто измерив длину $A_1C_1$ и разделив ее пополам.
2. Проводим отрезок $B_1H_1$. Этот отрезок является изображением высоты и медианы $BH$ треугольника $ABC$.
3. Через данную точку $M_1$ на отрезке $A_1B_1$ проводим прямую, параллельную отрезку $B_1H_1$.
4. Точку пересечения этой прямой со стороной $A_1C_1$ обозначаем $K_1$.

Отрезок $M_1K_1$ и есть искомое изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на основание $AC$.

Ответ: Искомое изображение — это отрезок $M_1K_1$, построенный путём проведения прямой через точку $M_1$ параллельно отрезку $B_1H_1$, где $H_1$ — середина основания $A_1C_1$, а $K_1$ — точка пересечения этой прямой с $A_1C_1$.