Номер 19, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 19, страница 70.

Условие.

7.19. На рисунке 7.32 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, на ребре $CD$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $B_1$;

2) точки $M$.

Рис. 7.32

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Центральная симметрия относительно точки (центра симметрии) — это преобразование пространства, при котором любая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $PP'$. Для построения образа куба необходимо построить образы всех его вершин, а затем соединить их в соответствующем порядке.

1) вершины B₁;

Чтобы построить образ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ при симметрии относительно вершины $B_1$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Образом центра симметрии, точки $B_1$, является сама точка $B_1$. Обозначим образ вершины $X$ как $X'$. Тогда $B_1' = B_1$.
2. Для нахождения образа любой другой вершины, например $A$, нужно соединить ее с центром симметрии $B_1$ и на продолжении отрезка $AB_1$ за точку $B_1$ отложить отрезок $B_1A'$, равный отрезку $AB_1$. Точка $A'$ будет образом точки $A$.
3. Аналогичным образом строим образы всех остальных вершин куба: $B, C, D, A_1, C_1, D_1$. Получим соответственно точки $B', C', D', A_1', C_1', D_1'$.
4. Соединив полученные вершины-образы ребрами в соответствующем порядке, получим куб $A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'$.

Геометрически, новый куб будет иметь с исходным одну общую вершину $B_1$. Три ребра нового куба, выходящие из этой вершины ($B_1A_1'$, $B_1C_1'$, $B_1B'$), будут являться продолжениями трех ребер исходного куба ($A_1B_1, C_1B_1, BB_1$). Другими словами, для векторов, определяющих эти ребра, выполняется соотношение: $\vec{B_1A_1'} = -\vec{B_1A_1}$, $\vec{B_1C_1'} = -\vec{B_1C_1}$ и $\vec{B_1B'} = -\vec{B_1B}$.

Ответ: Построен куб $A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1'$, симметричный исходному относительно точки $B_1$. Эти два куба имеют единственную общую точку — вершину $B_1$.

2) точки M.

Построение образа куба при симметрии относительно точки $M$, лежащей на ребре $CD$, выполняется по тому же принципу.

1. Для каждой вершины исходного куба $V$ (где $V \in \{A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\}$) находим ее образ $V''$. Для этого проводим прямую через точки $V$ и $M$ и на этой прямой откладываем отрезок $MV''$, равный отрезку $VM$, так чтобы точка $M$ была серединой отрезка $VV''$.
2. Образом точки $M$, как центра симметрии, является сама точка $M$.
3. После нахождения образов всех восьми вершин $A'', B'', C'', D'', A_1'', B_1'', C_1'', D_1''$, соединяем их ребрами, сохраняя порядок соединения исходного куба. В результате получаем новый куб $A''B''C''D''A_1''B_1''C_1''D_1''$.

Рассмотрим расположение полученного куба относительно исходного:

• Поскольку точка $M$ лежит на ребре $CD$ в плоскости основания $ABCD$, образ этой плоскости при симметрии относительно $M$ совпадет с ней самой. Таким образом, грань-образ $A''B''C''D''$ также будет лежать в плоскости основания.
• Грань $A''B''C''D''$ является образом грани $ABCD$ при центральной симметрии относительно точки $M$. Это эквивалентно повороту грани $ABCD$ на $180^\circ$ вокруг точки $M$ в плоскости основания.
• Верхняя грань исходного куба $A_1B_1C_1D_1$ лежит в плоскости, параллельной основанию. Образ этой грани, $A_1''B_1''C_1''D_1''$, будет лежать в плоскости, симметричной исходной относительно точки $M$. Если основание $ABCD$ лежит в плоскости $z=0$, то верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ лежит в плоскости $z=a$ (где $a$ - ребро куба). Тогда ее образ $A_1''B_1''C_1''D_1''$ будет лежать в плоскости $z=-a$.
• Таким образом, исходный куб расположен в полупространстве $z \ge 0$, а его образ — в полупространстве $z \le 0$. Они соприкасаются в плоскости $z=0$. Ребро $CD$ исходного куба и ребро $C''D''$ (образ ребра $CD$) полученного куба лежат на одной прямой, и точка $M$ принадлежит обоим этим ребрам.

Ответ: Построен куб $A''B''C''D''A_1''B_1''C_1''D_1''$, симметричный исходному относительно точки $M$. Этот куб "присоединен" к исходному вдоль линии, содержащей ребро $CD$, и расположен в противоположном полупространстве относительно плоскости основания $ABCD$.