Номер 22, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 22, страница 71.

Условие.

7.22. На рисунке 7.35 изображён тетраэдр $DABC$, точка $M$ – середина ребра $BC$. Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого:

1) образом точки $D$ является точка $B$;

2) образом точки $A$ является точка $M$.

Рис. 7.35

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Параллельный перенос — это преобразование пространства, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Он задается вектором переноса. Если точка $X$ переходит в точку $X'$, то вектор переноса равен $\vec{XX'}$. Чтобы построить образ тетраэдра, необходимо построить образы всех его четырех вершин.

1) образом точки D является точка B

В этом случае параллельный перенос задается вектором $\vec{DB}$. Это означает, что каждая вершина исходного тетраэдра $DABC$ смещается на вектор $\vec{DB}$. Найдем образы вершин:

• Образом вершины $D$ по условию является точка $B$. Обозначим ее $D'$. Итак, $D' = B$.
• Образ вершины $A$, точка $A'$, находится из условия $\vec{AA'} = \vec{DB}$. Геометрически это означает, что четырехугольник $DAA'B$ — параллелограмм. Для построения точки $A'$ нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{DB}$.
• Образ вершины $B$, точка $B'$, находится из условия $\vec{BB'} = \vec{DB}$. Для построения точки $B'$ нужно отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{DB}$. Точки $D$, $B$ и $B'$ будут лежать на одной прямой, причем точка $B$ будет являться серединой отрезка $DB'$.
• Образ вершины $C$, точка $C'$, находится из условия $\vec{CC'} = \vec{DB}$. Геометрически это означает, что четырехугольник $DCC'B$ — параллелограмм. Для построения точки $C'$ нужно отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{DB}$.

Соединив новые вершины $D'=B, A', B', C'$, получим искомый тетраэдр $BA'B'C'$.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $BA'B'C'$, где точки $A'$, $B'$, $C'$ таковы, что выполняются векторные равенства: $\vec{AA'} = \vec{DB}$, $\vec{BB'} = \vec{DB}$, $\vec{CC'} = \vec{DB}$.

2) образом точки A является точка M

По условию, точка $M$ является серединой ребра $BC$. Параллельный перенос, при котором образом точки $A$ является точка $M$, задается вектором $\vec{AM}$. Каждая вершина исходного тетраэдра $DABC$ смещается на вектор $\vec{AM}$. Найдем образы вершин:

• Образом вершины $A$ по условию является точка $M$. Обозначим ее $A'$. Итак, $A' = M$.
• Образ вершины $D$, точка $D'$, находится из условия $\vec{DD'} = \vec{AM}$. Геометрически это означает, что четырехугольник $ADD'M$ — параллелограмм.
• Образ вершины $B$, точка $B'$, находится из условия $\vec{BB'} = \vec{AM}$. Геометрически это означает, что четырехугольник $ABB'M$ — параллелограмм.
• Образ вершины $C$, точка $C'$, находится из условия $\vec{CC'} = \vec{AM}$. Геометрически это означает, что четырехугольник $ACC'M$ — параллелограмм.

Соединив новые вершины $D', A'=M, B', C'$, получим искомый тетраэдр $D'MB'C'$.

Ответ: Образом тетраэдра $DABC$ является тетраэдр $D'MB'C'$, где точки $D'$, $B'$, $C'$ таковы, что выполняются векторные равенства: $\vec{DD'} = \vec{AM}$, $\vec{BB'} = \vec{AM}$, $\vec{CC'} = \vec{AM}$.