Номер 27, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 27, страница 71.

Условие.

7.27. Треугольник $A_1B_1C_1$ – изображение равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, если высота $AM$ этого треугольника делит сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$ так, что $BM = 5MC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Центр $O$ описанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ лежит на его высоте (которая также является медианой) $BH$, проведенной к основанию. При параллельном проецировании середина отрезка переходит в середину проекции отрезка, поэтому проекцией медианы $BH$ является медиана $B_1H_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Следовательно, искомая точка $O_1$ — проекция центра $O$ — должна лежать на медиане $B_1H_1$.

Параллельное проецирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. Поэтому, чтобы найти положение точки $O_1$ на отрезке $B_1H_1$, нам необходимо найти отношение, в котором точка $O$ делит медиану $BH$. То есть, нам нужно найти значение $\frac{BO}{BH}$.

Для нахождения этого отношения воспользуемся данными задачи. Пусть $MC = x$. По условию, высота $AM$ делит сторону $BC$ так, что $BM = 5MC$, следовательно, $BM = 5x$. Тогда вся боковая сторона $BC = BM + MC = 5x + x = 6x$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $AB = BC = 6x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$ (так как $AM$ — высота, $AM \perp BC$). По теореме Пифагора:

$AM^2 = AB^2 - BM^2 = (6x)^2 - (5x)^2 = 36x^2 - 25x^2 = 11x^2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMC$. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AM^2 + MC^2 = 11x^2 + x^2 = 12x^2$.

Отсюда длина основания $AC = \sqrt{12x^2} = 2\sqrt{3}x$.

Найдем длину медианы $BH$. Так как $BH$ в равнобедренном треугольнике является и высотой, то $\triangle BHC$ — прямоугольный. $H$ — середина $AC$, поэтому $HC = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{3}x}{2} = \sqrt{3}x$. По теореме Пифагора для $\triangle BHC$:

$BH^2 = BC^2 - HC^2 = (6x)^2 - (\sqrt{3}x)^2 = 36x^2 - 3x^2 = 33x^2$.

Отсюда $BH = \sqrt{33}x$.

Радиус $R$ описанной окружности равен $OB$. Для его нахождения воспользуемся свойством, что центр описанной окружности $O$ равноудален от вершин. $OB = OC = R$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OHC$ (точка $O$ лежит на высоте $BH$) имеем $OC^2 = OH^2 + HC^2$. Так как $O$ лежит на отрезке $BH$, то $OH = BH - BO = BH - R$. Подставим в уравнение:

$R^2 = (BH - R)^2 + HC^2$

$R^2 = BH^2 - 2 \cdot BH \cdot R + R^2 + HC^2$

$2 \cdot BH \cdot R = BH^2 + HC^2$

Так как $BH^2 + HC^2 = BC^2$ (из $\triangle BHC$), то $2 \cdot BH \cdot R = BC^2$. Отсюда находим $R$:

$R = BO = \frac{BC^2}{2 \cdot BH} = \frac{(6x)^2}{2\sqrt{33}x} = \frac{36x^2}{2\sqrt{33}x} = \frac{18x}{\sqrt{33}}$.

Теперь мы можем найти искомое отношение:

$\frac{BO}{BH} = \frac{18x/\sqrt{33}}{\sqrt{33}x} = \frac{18}{(\sqrt{33})^2} = \frac{18}{33} = \frac{6}{11}$.

Таким образом, точка $O$ делит медиану $BH$ в отношении $6:11$, считая от вершины $B$. Следовательно, ее проекция $O_1$ делит медиану $B_1H_1$ в том же отношении: $B_1O_1 = \frac{6}{11}B_1H_1$.

Построение:

1. Найти середину $H_1$ стороны $A_1C_1$.
2. Провести отрезок (медиану) $B_1H_1$.
3. Разделить отрезок $B_1H_1$ в отношении $6:5$ (что эквивалентно $B_1O_1 = \frac{6}{11}B_1H_1$), считая от точки $B_1$. Это можно сделать с помощью теоремы Фалеса:
   • Из точки $B_1$ провести произвольный луч $l$, не совпадающий с $B_1H_1$.
   • На этом луче отложить от точки $B_1$ одиннадцать равных отрезков произвольной длины (с помощью циркуля). Обозначим конец последнего отрезка как точку $P$. Таким образом, $B_1P$ состоит из 11 равных частей.
   • Соединить точку $P$ с точкой $H_1$.
   • Найти на луче $l$ точку $Q$, которая является концом шестого отрезка ($B_1Q = \frac{6}{11}B_1P$).
   • Провести через точку $Q$ прямую, параллельную отрезку $PH_1$.
   • Точка пересечения этой прямой с медианой $B_1H_1$ и будет искомой точкой $O_1$.

Ответ: Изображение центра описанной окружности, точка $O_1$, лежит на медиане $B_1H_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ и делит ее в отношении $B_1O_1:O_1H_1 = 6:5$.